8-9. Теорема(достаточное усл-е разложимости ф-ии в ряд Тейлора)

:Пусть f(x) непрерывная и непрерывно дифференцируема бесконечное кол-во раз в некот (a,b), причем все n-производные в (a,b) в совок-ти ограничены тогда ф-ия разложима в ряд Тейлора.

Разложения рассматрив в т.х0=0(ряд Маклорена).

Рассм в промеж (-) т.е достаточное условие разложимости выполнено.

т.е. …

2)Пусть f(x)=sinx. Проверим достаточное условие. В (a,b) x0=0

f(0)=0 ,

В разложении синуса все слагаемые с четными номерами будут = 0, т.е. будут присутствовать только нечетные степени.. Аналогично получаем разложение косинуса,в кот-м будут отсутствовать нечетн сетпени,а присутствовать слагаемые с четными степенями будут чередовать знаки.

cosx=1-

3)f(x)=ln(1+x). Продифференцируем эту ф-ию и разложим по форм геом прогр

Интегрируя это равенство получим разлож-е исходной ф-ии.

ln(1+x)=

Данное разложение справедливо в промежутке (-1;1]

4) f(x)=arctgx. Продифференцируем и разложим эту ф-ию по форм геом прогр

Интегрируя это равенство получаем: arctgx=

Данное разложение справедливо в [-1,1]. В концевых точ-х сходим-ть усл-ая.

5)Биномиальное разложение. Рассм ф-ию f(x)=(1+x)α, α≠0. f(0)=1,

Получаем разложение f(x)=1+α .Данное разложение применимо в интервале (-1,1)