<<
>>

6. Свойства степенных рядов.

Теорема 1. Сумма степенного ряда с радиусом сходимости R непрерывна во всех точках его промежутка сходимости.

Св-во2: (О почленном интегрировании).Пусть задан степенной ряд и f(x) – его сумма, определенная на Дc .

Степенной ряд допускает почленное интегрирование в интервале сходимости, т.е. д/ х из области сходимости .

(5).

Ряд (5) назыв-т проинтегрированным рядом по отношению к исходному.Он тоже явл степ-м рядом с радиусом сходимости Rn, д/ряда (5) справедливо.

Св-во3:(о почленном дифференц-ии). Д/ степ ряд допускает почленное дифференцирование, причем (6). Полученный ряд (6) назыв дифференцированным по отношению к исходному и его область сходимости .

Следствие. Степенной ряд внутри промежутка сходимости допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

7. Частичные суммы степенного ряда представляют собой многочлены поэтому хорошо вычисляются. Значит удобно при возможности представить ф-ию в виде суммы степенного ряда(//как говорят, разложить функцию ряд).

Пусть f(x) разложимый степенной ряд т.е. коэффи-ты а0, ,…, и x0: .

Ясно, что в этом случае, если с Дс то внутри этого промежутка степенной ряд можно бесконечно дифференцировать.

Необходимое условие разложимости ф-ий в степен ряд явл бесконечн диффер-емость внутри её промежутка.

Рассм ф-ию f(x) в т. . Получим .f()=. Продифференцируем ряд (*)

(**). Продифференцируем (**)

Продолжая процесс получаем, что - формула д/опред-я коэф-ов при разложении в степенной ряд. Т.о.ряд,в кот разлагается фу-ия, должен иметь вид:

- ряд Тейлора.

Д/ ф-ии бесконечно дифференцируемой в т.х0 ряд Тейлора . Сходимость ряда в этой точке надо исследовать.

<< | >>
Источник: Неизвестный. Экзамен по высшей математике. 2 семестр. 2015

Еще по теме 6. Свойства степенных рядов.:

  1.   Таблица 1. Квадратное расположение гуа в последовательности натурального ряда, приписываемой Фуси.  
  2. Свойства и происхождение менее совершенного языкового строения
  3. § 15. Содержание учения о существе Божием. Понятие о существенных свойствах Божиих и их разделение.
  4. СЕМАНТИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТЕПЕНЯМИ СРАВНЕНИЯ
  5. Свойства электрических полей
  6. Принципы классификации второстепенных членов предложения (традиционное и новое)
  7. 2.1. Сущностные свойства (качества) уголовного наказания
  8. 2.2. Внешние свойства уголовного наказания
  9. ФОРМЫ СРАВНИТЕЛЬНОЙ СТЕПЕНИ (КОМПАРАТИВ)
  10. Содержание дисциплины
  11. Свойства равномерно сходящихся рядов.