10. Применение степенных рядов.

1. Степенные ряды м-применятся д/приближ-го вычисления ф-ии. Напр, зная разложение sinx,вычислим знач-е этой ф-ии при с точностью

Т.к ряд знакочередующийся Лейбницевсого типа, то остаток ряда по модулю не превосходит первого отброшенного члена.

Оценим погрешн-ть rn(x) после образования n-членов ряда

мы должны подобрать такое n,чтобы это все было

В резул-те это неравенство выполняется уже при n=2.

Т.е. sinx≈ c точностью до д/

Разложение ф-ий f(x)=cosx, sinx, , м-использовать д/вычисления этих ф-ий призначе-ях x(т.к эти разлож-я справедливы д/x с любо степенью точности)

Ряд д/логарифмов хотя и знакопеременный, но сходится медленно, а при x>0 расходится.Поэтому, чтобы ускорить сходимость ряда и сделать возможным вычисление логарифмов чисел x>1 делают щее:

Из ряда (1) вычтем ряд (2).

С help ряда (3) сходящегося достаточно быстро можно найти логарифмы всех полагая в нем

Отправляясь от можно последовательно найти логарифмы всех натур-х чисел. Ряд д/arctdx=f(x) можно использовать д/вычисления числа π с любой степенью точности. Полагая в разложении arctgx=1, получаем π/4=1-1/3+1/5-1/7+…

Биномиальное разложение можно использовать для извлечения корней.

2. Разложение ф-ий в ряд может использоваться д/вычисления интегралов не берущихся в конечном виде. Напр, , ,