<<
>>

§ 63. Суммирование рядов

В предыдущем параграфе была решена задача: данную функиию нужно было разложить а ряд. Рассмотрим некоторые примеры, когда задан ряд и нужно найти функцию, к которой он сходится (см. примеры 1 и 3 § 58, примеры 12 и 13 §61, а также Приложение).
Пример I. Найти суммы рядов
81
9 ±Л +
4 2 9 6 16 24
1 Ґ 3\т
Решение. Установив, что общий член данного ряда есть — {^"gj
ОО f I irt
, получим
п!
и зная, что е±х = 22
11 = 0
0
3 _ 3
Следозательно, S^ = 5а — е Пример Найти суммы рядо&
9 +
2 -16 1 3 64
і /
Решение. Так как общий член ряда есть ~ (?5} и Учитывая,
ОО п
X
что ™ lll(l - х) ™ У^ ~ получим 5l,S = І31 ґі ± ИЛИ Si — ]п ^, S2 = 1п4.
Пример 3. Найти суммы рядов
т2 Xі
+
Si = 1 + + + '®
41
(2«)! „ЇП+1
а3 я6
+...
+
Решение.
п=0
(2п 4-1)! „ пі п!
получим
Ъ * , я (С4 аг _ .
П=0 а почленное эычнтзнне даёт
+ ... = So — sha:.
-3 S Зті+1
3! 5! ^ (Зл+1)!
В частном случае при х в 1т отсюда следует
[
1
+ — Є 1) = sh 1.
(2п}1 1
! "" 1 ' 51 + +(2п + 1)!
_ - h+ІА
т>!
Пример 4. Найти суммы ряда S = ^
Решение, Интегрируя почленно данный ряд, находим
00
DO Яп + 1 X
- V
tt«Q
л—О
?
тогда jSdx — дав*5, Отсюда дифференцированием получаем о
о
Пример 5« Найти суммы рядов а = + ± - Решение Установив, что общий член данного ряда есть f^^J
оо
и зная, что (іідг)"1 — «юлучим, что 5u ~ (1 0,4)^', тогда
«L-1 2 ф 4 8 + - 5
№ тгл;п
ПІ
я=1
Пример 6, Найти сумму ряда
Решение,
^ nx1 , , Зх® 4х4 , (, , з . я2 , I3 , \ _ *
Другой способ. Заменив и исходном ряде п^т+1, находим
OQ
m + 1 _
X
ся „m-Н
= Е
h
Til!
= E — = x E
m~0
m=0
здесь учтено, что (m 4 1)! = m\ (тп + 1),
557 __

¦ass ____ Ряд" -
ж «Vі
Пример 7, Найти сумму ряда S - ?
П-Ї
со а^п— 1 ті jb
Решение, Представим исходный ряд в вкде
-
1
Tl=sl
интегрируя почленно сумму 8и HMeeW
хг Г ™ 2Л-1 ОО п
і J0 ¦ (см, пример 6}. тогда
ЗТ
оо п , J
пример 8. Найти сумму ряда S — ?
П-З
оо п-Н. ОО rt
Е
п — О л—О
п
Решение.
Г ^ 00 д;11
= V 1—j— ~ і V —г ~ хе*. _ тг! ш
тогда
( j 5 da:)' = 5 « {хєхух = (1 + х)ех.
™ 1
п-1
Пример 9. Найти сумму ряда — Решение,
Ца-1 + ї + а + *+"-
п = 1

Пример tO, Найти сумму ряда S = ^ - ^ Решение.
оо г х
«-Еіг--!^ я: < I, -i ft
тогда
5 ™ J f/х = — | In (1 — ас) rfx + (1 — я) 1п(1 - х) + С,
П-Ї
но 5(0) = 0, отсюда С — 0. Следовательно,
JZ
= аг-Ь (1 — х)1п(1 — і) при — 1 ^ х ^ L
Далее, учитывая, что Ііш^З™ 1 и lim S = 21n2 — 1, получим
ОО , ОО { л ui + l
у- 1 = 1 V I-1* = 2 In 2- 1-
^ п(п + 1) ? ^ п[п + 1)

Пример 1 і. Найти сумму ряда 5 = ^ ~7
Решение. Дифференцированием исходного ряда no х получим
1X1
X
ТІ — 1
n=i
Теперь, интегрируя выражение для находим
т
S =
= — J^LJX (1 1 -зс2) 1п(1-х) + |ж(а: + 2}.
7г" — 1
Пример 12, Найти сумму ряда S = ^
п=2
Решение.
Сделаем замену
3
оо =о
n-m+l Mm+ 2) 4
^ — ^ п* — 1 , . "
п=2 в—іті+l т=\
(см. пример 11 при X 1 — 0).
па;
(2П - I)!
ОС
it" і
Пример 13. Найти сумму ряда 5 — ^ ( — I)*
Решение.
Эп
(2«. -~Т)Ї
1 + 2 = I V {-ІГ^1^
2 f (2m+1)1
TTi
™ _ J' — fe! Г] ІГ
771=0
(2тп+1)\~ 2
Находим исходную сумму
5і = ^ J Sdxj ™ ^sin^ = — ^(sins + xcosx}. о
Пример 14. Найти сумму ряда 5=1 ~ ^ + j — + Із — + ¦' -
550 Ряды [ГлчЖ
f-lV*
Решение. Устанонин, что общий член ряда сеть -—— t расемот-
3)1+1
™ f—IV* 00 (—1\*
рим ряд S = Т - - з;3"'1'1, причём Ііш У" ^—^—х3™4"1 равен
tt —О л—О
исходному ряду {метод Абеля).
ос-
оо

1 +- я
- ? (-1 - Е =
71=0
s = f 5', dx = f - [ f-А- + dx =
J .1 і + 23 і \ 1 + х - ж + і j
І
З
і -І-1

+
+
тг^ - -— 1 dx — і
у/х* - -Л + 1
l + ar аГ - Ф + 1/
1 ж — 1 . ^
+ arctg —1= Ь
ч/з Уз
"ТГ
ТЗЕС как 5(0) — 0, отсюда С — —7=. Итак, имеем
G v3
CO 1
я 1
- ^ In
1 . - I ir + —=¦ arctg —p h
n=0
з Уяса - X h 1 \/3
Окончательно иаходим
Пример J5, Найти сумму ряда
^ - г _ і 4 7 _ ш -4 13 lfi
З У 27 81 243
оо
/'Х \
Ре ш е и не. Рассмотрим сумму 6"i{x) = J2 (~l)n(3»+ 1) ( — J , которая при х — 1 равна исходной.
Si(x) = ? {-І)" (ff 4 3 ? (-1Г (-S = «=0 «=0
¦X
FIT (i+§)
DO j OG j
здесь учтено, что 52 ~ ї—: и У! = T Исходная
«-о \ + t n=o Cl H-
сумма равна 5 — = 1) — — -
Пример 16, Найти сумму ряда S{х) = ? ^Т^Т —"¦
7[—О ' "
Решение. Учитывая, что (2т*— — 1)!(2л), представим данный ряд в мде суммы двух рядов
™ (-1 , ™ (-l)V" к с ( *
ті-О
(2п)!
где ряд
со f ЦП lFI-1
(Зті- 1)1
f ОО І 1 1*3* — 1
Ті-0 s 1 TI^L
Интегрируя почленно этот рпд, находим
по

4=t]
х
(2ті- 1)!
-¦ — TjSlllX,
о
отсюда
Л n«L
я
^ j rfx^ = ?l?:e) — — ^ am г - | сойї,
cos х - - я (kl < °о) ¦
Следовательно, исходная сумма равна 3{х) = сой ж 4 ^i(x) = - Y^J
150 1
Пример 17, Найти сумму ряда ^ ——рур"- Решение. Представим исходиый ряд в виде
)
+
n(n+l) (п + і)* " где А = 1, 3 = —2. С= 1, и учитывая (см. Приложение)
і
Пример 18- Найти суммы следующих рядов: ! і Ґ—1Г+1
+...;
9М - 1 + 1 - J 4- +
' 3 5 7 271 + 1 1
3) ?
00 + 1
3ті тг]
Решение. Полагая х — і в формулах 1п{1 + т.) =¦ {—І)71*1 —,
tt=i
arctgx - 22 —¦
CO t -і ^ті-ЦІ
t) in 2= v bll -
f ^ n
Я — J
oo
1 1 I \ , .МГ , 2 з" 4 ' "
o\ * і * ^ і 1 L 1 1 ¦ ("L>
arctg 1 — t = > t^^t — 1 _ ї + 7 - = + - + ГТТ + ¦ ¦ ¦
4 ^ 2n 4- 1 3 a 7 2ti + 1
П — 1
v 2l±V = v- Jl (i\n + f ? =
¦
=е§+!(1+!)еІ = (т+!+1)
(см. гример 7).
Пример 19, Найти сумму ряда
s = tr05y.V*r+' (|х|<1)'
Решение. Составляем выражение
{і-- ,s't = ? ЙЙ + i)(i --«Я -
« 4(1 - 2х2) + § аа(3 - 4а:2) + Щ х*(5 - Gx2) +
Jo
Для решении днфференцналъного уравнения (1 ~ л:2)^ — zSi ~ 4 сделаем замену х = sinit тогда учитывая, что
dt dx
q" Л- Я' ~ f S ,
da: dt І cos* j dx
dt cosJH-S^sitii
cos3 t
получим уравнение S"t — 4, из которого находим
is;-4, = Sj = 4t + Ci И S=2t* + Cit + C2.
Дь J J
30 (Ы)3 ^
А
Так как 5(0) = S'(0) = 0, то C\ ~ C2 - 0. В итоге получаем, что искомая сумма равна $ = 2t2 - 2(агсяшзг)Я
Пример 20, Найти сумму ряда S - ? т^1''1 ^
Решение.
Представим Исходную сумму ряда в виде (ті! = (л. - 1)!гг)
it— 1 *
•Si = ? A"'1. <ь -
11=1 v ¦
. ^ ({ті. - 1)1)" n „ / . ч/? V J So dx = pnti ^ ~ * [ arcsiii )
2 /
(см, пример 19). Тогда
2 * ч/х
. v
2 і arcsin 1
v.
1
(4 —
у arcsm
ap
Исходная сумма равна
+
T arcsm ,
4 — x
/с(4- z)-
S = 1+xSi -
Пример 21. Найти суммы рядов
™ 1 00 I
тГ + 5п +6
11=1
Р Є 113 є и и е.
ад | «з I /1 і \
" ? п'+зл+а" ^ (п+і)(п + 2}= ? іїггї ~ ™
- Л (5 - їЬ) " І 51 = 5:
S, = ? —1 _ jr (—І-. І-Л = lim s2n =
H1! Tl— 1
= lim = S2 = і
Й!П пх
Пример 22. Найти суммы рядов Si — ^ Si —
я=0
її—О
Решение, Рассмотрим сумму рядов
оо
С О I О соапаг + ishiпх ^ ^
6 = ІІ + - ^ = ^ — = ?
П=П т^О " Т1 = 0 "
_СОЬ Л-І si гі і
.COS ї„іііШ
= e™SI(cos(smaO н- ?sfri(sin г}).
- є
В итоге имеем
5! = Re5 = cC(№Xco${sinx), Si = Imtf = sm(sm я;)),
{—DO < ф < Co). Пример 23. Найти суммы рядов
гт S COS пх п sirt ТІX /_ ^
Решение. Рассмотрим сумму рядов
оа і оо -.
S^Si+iSz^Yl-(cos хп + * smxn) = 22 І eina! - - - є'*) -
-- — ]п(1 — созі — tsina;) = - In - сод я;)3 + він2 х -
~ ІaTctg 1-^цГі = 111 f) + *axctgctg|.
Отсюда получаем
Si = RtS - In (4sin2 I) , S2 = Іш 5 = axctgctg
Униты&ая, что aictg (ctg aictg ^ f)) = \ — получим S2 — ^ (fl" — г).
Пример 24, Найти сумму ряда
& 9 J.3 і 7 21 Решение, Рассмотрим степенной ряд
оо
4к41
ад - s г <м<и,
1 + 1 ~ А +І-. -Т^Т Hm S{x).
+ 1 ^ *
который при х = 1 совпадает с исходным рядом. Следовательно,
І + І-І + А
5 а 13 17
J _ Суммирование рядов 565
Дифференцируя ряд почленно, получки
71 = 0 1+Х
Откуда =
¦IX -1-і
Учитывая, что Xі + 1 = з"1 + 2s2 + 1 - 2ха = {ar2 -f I)2 - 2х2 - (х2 + + ху/2 + 1)(х2 - хф> + X)f имеем
Г^Л Лх + В dx+\_C1±D_dx ] х4 + 1 J X2 4- XV2 +1 j - хт/2 + 1 Из тождества
] = (Ав4-Б)(«а -xs/2 + + + D){x2 + 4-1) следует (см. § 43) •
X* I О - Л + С, а2 0 = В-Ау/2 +D + CJ2, х 0 = А- Б\/2 + С7 + Di/2 t а;0 1 = В 4- D
или 0 а= Л + С, = А - С, 0 = В - V, 1 = В D.
V2 ¦
Отсюда А = = В = Л = Таким образом,
dx
1 ¦І
я:
_ rfs _ і [ «
х* + 1
Я* -fx\/2 +
1 4 J ж3 - я\/2 + 1
л =и
ib 42 J 4 J
I Г
titiu =
fii = xi~ A 1 f-/2tt+l J. 1 Г V^ta — I
J3 4- 1 2
dii
см. параграф 42
v'- In + ^(arctg tt v^ 4 + arctg ) + C.
8
Учитывал формулу сложения арктангенсов
arctg(x\/2 ¦+- 1) -f arctg(x\/2 — 1) — arctg -—
получим
I
Xа і- 1 JV2
1 -x'
a;3 - + 1 2y/2 565
Так как 5(0} — О, то С — 0. Следовательно,
lim Sf*) = -V += + + 1)1-
х-.ії-0 К4 4УЇ 2-V2 2у/2 2 4у2 В итоге получаем
5 9 13 17 4ті+ 1 4\/2
<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 63. Суммирование рядов:

  1. Глава IVОСОБЕННОСТИ ЕДИНСТВА РУССКОЙ КУЛЬТУРЫ( Предварительные замечания)
  2. 2.2. Алгебраическо-комбинаторные основания построения ПСП вМУ
  3. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  4. 3.4 Графическое представление рядов распределения
  5. Вопросы, выносимые на итоговое тестирование
  6. 1.3. Статистическая оценка законов распределения случайных величин
  7. § 63. Суммирование рядов
  8. ПОЗИТИВИЗМ. О. КОНТ. Г СПЕНСЕР
  9. § 1. Основания и критерии деления хищения на виды
  10. 2.5. СХЕМА ОБРАЩЕНИЯ ПИСЬМЕННОЙ СЛОВЕСНОСТИ В ЕЕ ГЛАВНЫХ РАЗНОВИДНОСТЯХ
  11. МЕТОДИКА УМНОЖЕНИЯ
  12. Примечание 1 Определенность понятия математического бесконечного
  13. Примечание 3 Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
  14. §1.18. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯДА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ
  15. Планировка линии и определение рабочих мест, создание связанных и синхронизированныхпроцессов
  16. Доходный подход к оценке стоимости предприятия (бизнеса]
  17. Механическая экстраполяция
  18. 9.4. Задачи для самостоятельной работы
  19. М
  20. Формирование амплитудного спектра. Учет различных источников флуктуаций заряда