§ 63. Суммирование рядов

81

9 ±Л +

4 2 9 6 16 24

1 Ґ 3\т

Решение. Установив, что общий член данного ряда есть — {^"gj

ОО f I irt

, получим

п!

и зная, что е±х = 22

11 = 0

0

3 _ 3

Следозательно, S^ = 5а — е Пример Найти суммы рядо&

9 +

2 -16 1 3 64

і /

Решение. Так как общий член ряда есть ~ (?5} и Учитывая,

ОО п

X

что ™ lll(l - х) ™ У^ ~ получим 5l,S = І31 ґі ± ИЛИ Si — ]п ^, S2 = 1п4.

Пример 3. Найти суммы рядов

т2 Xі

+

Si = 1 + + + '®

41

(2«)! „ЇП+1

а3 я6

+...

+

Решение.

п=0

(2п 4-1)! „ пі п!

получим

Ъ * , я (С4 аг _ .

П=0 а почленное эычнтзнне даёт

+ ... = So — sha:.

-3 S Зті+1

3! 5! ^ (Зл+1)!

В частном случае при х в 1т отсюда следует

[

1

+ — Є 1) = sh 1.

(2п}1 1

! "" 1 ' 51 + +(2п + 1)!

_ - h+ІА

т>!

Пример 4. Найти суммы ряда S = ^

Решение, Интегрируя почленно данный ряд, находим

00

DO Яп + 1 X

- V

tt«Q

л—О

?

тогда jSdx — дав*5, Отсюда дифференцированием получаем о

о

Пример 5« Найти суммы рядов а = + ± - Решение Установив, что общий член данного ряда есть f^^J

оо

и зная, что (іідг)"1 — «юлучим, что 5u ~ (1 0,4)^', тогда

«L-1 2 ф 4 8 + - 5

№ тгл;п

ПІ

я=1

Пример 6, Найти сумму ряда

Решение,

^ nx1 , , Зх® 4х4 , (, , з . я2 , I3 , \ _ *

Другой способ. Заменив и исходном ряде п^т+1, находим

OQ

m + 1 _

X

ся „m-Н

= Е

h

Til!

= E — = x E

m~0

m=0

здесь учтено, что (m 4 1)! = m\ (тп + 1),

557 __

¦ass ____ Ряд" -

ж «Vі

Пример 7, Найти сумму ряда S - ?

П-Ї

со а^п— 1 ті jb

Решение, Представим исходный ряд в вкде

-

1

Tl=sl

интегрируя почленно сумму 8и HMeeW

хг Г ™ 2Л-1 ОО п

і J0 ¦ (см, пример 6}.

ЗТ

оо п , J

пример 8. Найти сумму ряда S — ?

П-З

оо п-Н. ОО rt

Е

п — О л—О

п

Решение.

Г ^ 00 д;11

= V 1—j— ~ і V —г ~ хе*. _ тг! ш

тогда

( j 5 da:)' = 5 « {хєхух = (1 + х)ех.

™ 1

п-1

Пример 9. Найти сумму ряда — Решение,

Ца-1 + ї + а + *+"-

п = 1

™

Пример tO, Найти сумму ряда S = ^ - ^ Решение.

оо г х

«-Еіг--!^ я: < I, -i ft

тогда

5 ™ J f/х = — | In (1 — ас) rfx + (1 — я) 1п(1 - х) + С,

П-Ї

но 5(0) = 0, отсюда С — 0. Следовательно,

JZ

= аг-Ь (1 — х)1п(1 — і) при — 1 ^ х ^ L

Далее, учитывая, что Ііш^З™ 1 и lim S = 21n2 — 1, получим

ОО , ОО { л ui + l

у- 1 = 1 V I-1* = 2 In 2- 1-

^ п(п + 1) ? ^ п[п + 1)

™

Пример 1 і. Найти сумму ряда 5 = ^ ~7

Решение. Дифференцированием исходного ряда no х получим

1X1

X

ТІ — 1

n=i

Теперь, интегрируя выражение для находим

т

S =

= — J^LJX (1 1 -зс2) 1п(1-х) + |ж(а: + 2}.

7г" — 1

Пример 12, Найти сумму ряда S = ^

п=2

Решение. Сделаем замену

3

оо =о

n-m+l Mm+ 2) 4

^ — ^ п* — 1 , . "

п=2 в—іті+l т=\

(см. пример 11 при X 1 — 0).

па;

(2П - I)!

ОС

it" і

Пример 13. Найти сумму ряда 5 — ^ ( — I)*

Решение.

Эп

(2«. -~Т)Ї

1 + 2 = I V {-ІГ^1^

2 f (2m+1)1

TTi

™ _ J' — fe! Г] ІГ

771=0

(2тп+1)\~ 2

Находим исходную сумму

5і = ^ J Sdxj ™ ^sin^ = — ^(sins + xcosx}. о

Пример 14. Найти сумму ряда 5=1 ~ ^ + j — + Із — + ¦' -

550 Ряды [ГлчЖ

f-lV*

Решение. Устанонин, что общий член ряда сеть -—— t расемот-

3)1+1

™ f—IV* 00 (—1\*

рим ряд S = Т - - з;3"'1'1, причём Ііш У" ^—^—х3™4"1 равен

tt —О л—О

исходному ряду {метод Абеля).

ос-

оо

.з

1 +- я

- ? (-1 - Е =

71=0

s = f 5', dx = f - [ f-А- + dx =

J .1 і + 23 і \ 1 + х - ж + і j

І

З

і -І-1

1л

+

+

тг^ - -— 1 dx — і

у/х* - -Л + 1

l + ar аГ - Ф + 1/

1 ж — 1 .

+ arctg —1= Ь

ч/з Уз

"ТГ

ТЗЕС как 5(0) — 0, отсюда С — —7=. Итак, имеем

G v3

CO 1

я 1

- ^ In

1 . - I ir + —=¦ arctg —p h

n=0

з Уяса - X h 1 \/3

Окончательно иаходим

Пример J5, Найти сумму ряда

^ - г _ і 4 7 _ ш -4 13 lfi

З У 27 81 243

оо

/'Х \

Ре ш е и не. Рассмотрим сумму 6"i{x) = J2 (~l)n(3»+ 1) ( — J , которая при х — 1 равна исходной.

Si(x) = ? {-І)" (ff 4 3 ? (-1Г (-S = «=0 «=0

¦X

FIT (i+§)

DO j OG j

здесь учтено, что 52 ~ ї—: и У! = T Исходная

«-о \ + t n=o Cl H-

сумма равна 5 — = 1) — — -

Пример 16, Найти сумму ряда S{х) = ? ^Т^Т —"¦

7[—О ' "

Решение. Учитывая, что (2т*— — 1)!(2л), представим данный ряд в мде суммы двух рядов

™ (-1 , ™ (-l)V" к с ( *

ті-О

(2п)!

где ряд

со f ЦП lFI-1

(Зті- 1)1

f ОО І 1 1*3* — 1

Ті-0 s 1 TI^L

Интегрируя почленно этот рпд, находим

по

.Е

4=t]

х

(2ті- 1)!

-¦ — TjSlllX,

о

отсюда

Л n«L

я

^ j rfx^ = ?l?:e) — — ^ am г - | сойї,

cos х - - я (kl < °о) ¦

Следовательно, исходная сумма равна 3{х) = сой ж 4 ^i(x) = - Y^J

150 1

Пример 17, Найти сумму ряда ^ ——рур"- Решение. Представим исходиый ряд в виде

)

+

n(n+l) (п + і)* " где А = 1, 3 = —2. С= 1, и учитывая (см. Приложение)

і

Пример 18- Найти суммы следующих рядов: ! і Ґ—1Г+1

+...;

9М - 1 + 1 - J 4- +

' 3 5 7 271 + 1 1

3) ?

00 + 1

3ті тг]

Решение. Полагая х — і в формулах 1п{1 + т.) =¦ {—І)71*1 —,

tt=i

arctgx - 22 —¦

CO t -і ^ті-ЦІ

t) in 2= v bll -

f ^ n

Я — J

oo

1 1 I \ , .МГ , 2 з" 4 ' "

o\ * і * ^ і 1 L 1 1 ¦ ("L>

arctg 1 — t = > t^^t — 1 _ ї + 7 - = + - + ГТТ + ¦ ¦ ¦

4 ^ 2n 4- 1 3 a 7 2ti + 1

П — 1

v 2l±V = v- Jl (i\n + f ? =

¦

=е§+!(1+!)еІ = (т+!+1)

(см. гример 7).

Пример 19, Найти сумму ряда

s = tr05y.V*r+' (|х|<1)'

Решение.

{і-- ,s't = ? ЙЙ + i)(i --«Я -

« 4(1 - 2х2) + § аа(3 - 4а:2) + Щ х*(5 - Gx2) +

Jo

Для решении днфференцналъного уравнения (1 ~ л:2)^ — zSi ~ 4 сделаем замену х = sinit тогда учитывая, что

dt dx

q" Л- Я' ~ f S ,

da: dt І cos* j dx

dt cosJH-S^sitii

cos3 t

получим уравнение S"t — 4, из которого находим

is;-4, = Sj = 4t + Ci И S=2t* + Cit + C2.

Дь J J

30 (Ы)3 ^

А

Так как 5(0) = S'(0) = 0, то C\ ~ C2 - 0. В итоге получаем, что искомая сумма равна $ = 2t2 - 2(агсяшзг)Я

Пример 20, Найти сумму ряда S - ? т^1''1 ^

Решение.

Представим Исходную сумму ряда в виде (ті! = (л. - 1)!гг)

it— 1 *

•Si = ? A"'1. <ь -

11=1 v ¦

. ^ ({ті. - 1)1)" n „ / . ч/? V J So dx = pnti ^ ~ * [ arcsiii )

2 /

(см, пример 19). Тогда

2 * ч/х

. v

2 і arcsin 1

v.

1

(4 —

у arcsm

ap

Исходная сумма равна

+

T arcsm ,

4 — x

/с(4- z)-

S = 1+xSi -

Пример 21. Найти суммы рядов

™ 1 00 I

тГ + 5п +6

11=1

Р Є 113 є и и е.

ад | «з I /1 і \

" ? п'+зл+а" ^ (п+і)(п + 2}= ? іїггї ~ ™

- Л (5 - їЬ) " І 51 = 5:

S, = ? —1 _ jr (—І-. І-Л = lim s2n =

H1! Tl— 1

= lim = S2 = і

Й!П пх

Пример 22. Найти суммы рядов Si — ^ Si —

я=0

її—О

Решение, Рассмотрим сумму рядов

оо

С О I О соапаг + ishiпх ^ ^

6 = ІІ + - ^ = ^ — = ?

П=П т^О " Т1 = 0 "

_СОЬ Л-І si гі і

.COS ї„іііШ

= e™SI(cos(smaO н- ?sfri(sin г}).

- є

В итоге имеем

5! = Re5 = cC(№Xco${sinx), Si = Imtf = sm(sm я;)),

{—DO < ф < Co). Пример 23. Найти суммы рядов

гт S COS пх п sirt ТІX /_ ^

Решение. Рассмотрим сумму рядов

оа і оо -.

S^Si+iSz^Yl-(cos хп + * smxn) = 22 І eina! - - - є'*) -

-- — ]п(1 — созі — tsina;) = - In - сод я;)3 + він2 х -

~ ІaTctg 1-^цГі = 111 f) + *axctgctg|.

Отсюда получаем

Si = RtS - In (4sin2 I) , S2 = Іш 5 = axctgctg

Униты&ая, что aictg (ctg aictg ^ f)) = \ — получим S2 — ^ (fl" — г).

Пример 24, Найти сумму ряда

& 9 J.3 і 7 21 Решение, Рассмотрим степенной ряд

оо

4к41

ад - s г <м<и,

1 + 1 ~ А +І-.

+ 1 ^ *

который при х = 1 совпадает с исходным рядом. Следовательно,

І + І-І + А

5 а 13 17

J _ Суммирование рядов 565

Дифференцируя ряд почленно, получки

71 = 0 1+Х

Откуда =

¦IX -1-і

Учитывая, что Xі + 1 = з"1 + 2s2 + 1 - 2ха = {ar2 -f I)2 - 2х2 - (х2 + + ху/2 + 1)(х2 - хф> + X)f имеем

Г^Л Лх + В dx+\_C1±D_dx ] х4 + 1 J X2 4- XV2 +1 j - хт/2 + 1 Из тождества

] = (Ав4-Б)(«а -xs/2 + + + D){x2 + 4-1) следует (см. § 43) •

X* I О - Л + С, а2 0 = В-Ау/2 +D + CJ2, х 0 = А- Б\/2 + С7 + Di/2 t а;0 1 = В 4- D

или 0 а= Л + С, = А - С, 0 = В - V, 1 = В D.

V2 ¦

Отсюда А = = В = Л = Таким образом,

dx

1 ¦І

я:

_ rfs _ і [ «

х* + 1

Я* -fx\/2 +

1 4 J ж3 - я\/2 + 1

л =и

ib 42 J 4 J

I Г

titiu =

fii = xi~ A 1 f-/2tt+l J. 1 Г V^ta — I

J3 4- 1 2

dii

см. параграф 42

v'- In + ^(arctg tt v^ 4 + arctg ) + C.

8

Учитывал формулу сложения арктангенсов

arctg(x\/2 ¦+- 1) -f arctg(x\/2 — 1) — arctg -—

получим

I

Xа і- 1 JV2

1 -x'

a;3 - + 1 2y/2 565

Так как 5(0} — О, то С — 0. Следовательно,

lim Sf*) = -V += + + 1)1-

х-.ії-0 К4 4УЇ 2-V2 2у/2 2 4у2 В итоге получаем

5 9 13 17 4ті+ 1 4\/2