Вопросы для самопроверки

Что называется суммой сходящегося числового ряда?
Перечислите основные свойства бесконечных рядои.
Сформулируйте необходимый признак сходимости рядов.
Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Как исследуются на сходимость знакопеременные ряды?
Для каких рядов применяется теорема Лейбница?
Какие числовые ряды называются абсолютно сходящимися, а ка-кие условно сходящимися?
Какие ряды называются функциональными?
Как исследуются на сходимость функциональные ряды? J0. Какие ряды называются степенными?
Как определяется интервал сходимости степенных рядов?
Сформулируйте теорему Абеля для степенных рядов?
Какому условию должна удовлетворять функция, чтобы её можно было разложить в степенной ряд?
Приведите примеры применения степенных рядоп.
Приведите примеры суммирования рядов.
Упражнения
Г, Исследовать сходимость рядов:
«3 п ™ ж 1 00 Г1Г 00 тъ
1 S яГГїт 2- 51 ? Ж? J0*> 5- ^
Ti=0 TtssQ П=2 н=ц тт=іО
00 -1" ОО 1 nfV* М . Ой | оо „п
п—1 ji^iQ п=0 ч=0 п—
* /тч. і чіі(п-і) ее ( л\п+і
§ 63] Упражнения 5в7
°° t IVй оо -Уп оо п
[]. Определить области сходимости рядові
ас so и, ао п.
20. Е (Ь21. 22. ? 23. ?
n п 3 ^ nfn+l)1 ^ 12
60 00 ІИ" А ТІ ОО у„ , ЛИ ОО rtl tl
28. f ^(-у", зо. еД(І^)"
п—U nssU п—0
III, Разложить следующие функции в ряд по степеням х (т е в ряд Маклорена):
J —~ IE
[V. Разложить следующие функции ? ряд по степеням {х — а): 32. f(x) =х3 -Зх, а ~ ±1, 33, f(x) ~ х\ а - ± 1;
34. f(x) = -. а = ±8.
Др
V. Записать в виде ряда следующие интегралы:
ti і
Я X
3&. j tfo, 36, J ц/Т+а? dx, 37. j
і
VT_ Вычислить с точностью следующие интегралы:
З». Т vTT^ dx, 39 о і
Найти в виде ряда решение уравнения у" + ху = О с начальными условиями у(0) = 1, = О
VII. Найти суммы рядов.
S{x) = 1 ~ За2 + 5т4 - 7хе + 9х* - ...
- 1 + 2х + За:2 + ...
+ ^ + ^ +
44 + +
= 1 - 4х + 7х2 - 10х3 + , -
S{x)^ + + +
t. 8 ID
567
CO ™
ад = E ^ТЛГ- 43-- Е ш+і-
п.— I rt_
со лл+1 ™
49.
$(*) = У f^TT. = ? n(n + 2)x*
П-1
cosn? Сг \ _ ^ sinrwr
M cos пас _ ™ віл да
rta" " ~" ' *—tW
53. Проверить вывод формул Эйлера
Z - _ СОВ,Т, - ¦ - =51113;.
2 2t
Учитывал, что І2к = (-1)* іг*+1 = i(-l)fc,
t 1 * " —II f 1 in ' *
1 " Е = Е ^ ,
ті — 0 1=0
14-і Пв- / 2' х™_ {% +
1 + 1-1) - І 0, n = 1 1 ^ ~\0уп=*2к
имеем
ІІ оо -п п <х> ОО /іЧЛ-1*
. ? Л. (1 + С-щ = Ew = ? т "CDS"
__ -fa CO Jti^rt °о ^fc+i^lJf+I
2і ^ S 21Ы t1 - МП " ? i(2it+])t =
n=o c=0 4
Ответы
Ї. Расходится, 2. Сходится. 3, Расходится, 4. Сходится,
5. Сходится. 6, Расходится. 7. Сходится. 8. Сходится.
9. Сходится 10. Расходится. 11. Сходится. 12. Сходится.
13. Сходится, і4. Сходится. 15. Расходится.
16- Сходится при а > 0 и расходится при а ^ 0.
17. Расходится. 18, Сходится, 19. Расходится. 20. е"1 < х < е,
21.-224, 25. 26.^2 < дг < 2.
27. ~3<*<3. 2S. < яг < 29. -оо < а < <х < оо.
с о э
568
ЗО. При з; > 0 сходится абсолютно, а гзри х =0 сходится условно.
31. ^ Ы(1 + х) -1п(1 -х) =
\х\ < 1,
, ® h * і і ?
х + т + т + - - + 5 Г
J 5 2n + 1
1+ 5х + G) = 1п(« + 2) + 1п(х + 3) -
=1,16 + Ё Цр- (1)" [1 + (1)"] ¦ N<2
_ 1 . (sing)- bi ajFt _ ^ lnJL а
\х\ < ОО-
/(а:) = і3 - Зі = ±2тЗ(я ± 1)а + (ж ± I)3.
/(а;) = л;4 = ^ 1) + 6(s І)3 і 4(а; ^ + :F I)4
-±і 1
34. f(x) = і
8
n=l
I ^ ^ 4 Л^І '
w li = ІИЇ+ ?
1 71 ¦ n!
n=0
о 0
. 1 4 _ , ^
~ % + S * 56 І60
Г 4
gmx
J Д = 2 arctg я: при |х| ^ 1, О + '
л:
¦
$(х) ^ 2 arctg э; da; — 2х arctgх — ln(l -fa;3) при [х\ < 1. О
? (*«)» = + С = I In Ї + 1 її- I а- — 1 2 |х| < 1.
H = U 1 1
J I - хт 2
5' = ? (**)» - —Цр
71-0 ~~ *
ґк ґі 4 г
1 1 1 = - arctg х + - in
iF-t L X - 1
, M < і
50, Представим исходную сумму n виде
= ? [(» +lj* - 1]** ^ ft - ? - ft -
Іі-О
Далее:
|SWx= ? (n+l)xn+I = (С = 0, так как ft(0) = 0),
п=0
(С = 0, так как 52(0) — 0), Итак,
го
<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме Вопросы для самопроверки:

  1. Вопросы и задания для самопроверки
  2. Вопросы и задания для самопроверки
  3. Вопросы для самопроверки знаний
  4. Вопросы для самопроверки знаний
  5. Вопросы для самопроверки знаний
  6. Вопросы для самопроверки знаний
  7. Вопросы для самопроверки знаний
  8. Вопросы для самопроверки знаний.
  9. Вопросы для самопроверки знаний
  10. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
  11. Вопросы для самопроверки знаний
  12. Вопросы для самопроверки к главе 1
  13. Вопросы для самопроверки к главе 2
  14. Тест для самопроверки