Вопросы для самопроверки
% Что называется модулем вектора и как он определяется через
координаты сектора? 3. Какие линейные операции определены для векторов? 4 Как определяются направляющие косинусы пек тора через координаты?
Каковы условия коллинеарности двух векторов?
Что называется базисом?
Что называется скалярным кроиззедением векторов? 8 Как находится угол между двумя векторами?
9.
Что называется векторным произведением двух векторов? 10. Что называется смешанным произведением векторов? И. Каковы условия перпендикулярности и параллельности векторов?Какие векторы называются компланарными?
Как происходит разложение вектора по базису afb,c и какие условия накладываются иг вектора а, b,c.
Каковы условия компланарности векторов и как они выражаются через координаты векторов?
Геометрический смысл векторного и смешанного произведения векторов.
Дайте определение линейного пространства.
Как определяются длина вектора, угол между векторами и скалярное произведение в n-мерном пространстве?
IS. Данте определение линейной зависимости и независимости си-стемы векторов. 19. Что называется базисом линейного гіространства?
Упражнения
J. Определить коордннаты точки А. с которой совпадает конец вектора а — (3, — 1,4)т если его начало совпадает с точкой В — (1, 2, -3).
Вычислить направляющие косинусы вектора а = (12,-15, —16).
Определить модули суммы и разности векторов а — (3,-5,8)
Даны три вектора а - (3,-0, Ъ= (1,-2), с = (—1,7). Определить разложение вектора р = а-ЬЬ 4- с по базису а,Ъ,
6, Даны четыре вектора а = (2,1,0), Ъ = (1,-1,2), с ={2, 2,-1) н d « (3,7,-7). Определить разложение каждого нэ этих четырёх векторов, принимая в качестве базиса три остальные.
Определить, при каких значениях а векторы а = oi — 3j 4- 21с и Ь ™ і -j- 2j — ak взаимно перпендикулярны,
Вектор р, колли неарный вектору а — (6,-8,-7,5), образует острый угол с осью QZ. Зна д что j р| з 50, найти ею координаты.
8, Даны вектора а = (2,-1,3), Ъ= (1,-3,2), с ^ - 4), Найти вектор р, удовлетворяющий условиям (ар) = —5, (bp) ас -llt (ср) = — 20.
9- Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а — р — 3q, b — 5р + 2q, если известно, что |р| = 2\/2, jqj — = 3 и (pq) - 45g.
Определить угол между векторами а и Ь, если известно, что (а - Ь)2 + (а -Ь 2Ь)г = 20 и [а| = 1, \Ъ\ = 2.
Дэны три вектора а — (3,-6,-1), Ь = (1,4,-5), о = (3,-4,12).
Вычислить прс (а + Ь).2
Векторы а и Ь образуют угол <р = - я. Зная, что |а. — 1, }Ь| = 2,
вычислить: [ab]st [(2а + b) (а + 2b)J3t [(а V ЗЬ) (За- Ь)]г.
При каких значениях а и 0 вектор m+ 3j — j3k будет коллинс- арен вектору [ab|, если а = (3, —1,1), b = (1,2,0).
При каких А векторы а,Ъ,с будут компланарны: а, = (1,2А,L), b = (1, А,0), с = (0, A, 1).
Доказать, что четыре точки А= (1,2,-1), В — (0,1,5), С — = (--1, 2,1) и D — (2,1:3) лежат в одной плоскости,
Показать, что векторы а — -i 3j + 2k, b ~ 2i — 3j — 4k, с = — —Зі + 12J + (>k компланарны и разложить вектор с по векторам а и Ъ.
Ответы
1-А — (4,1,1). 2. COSCV = cos/З = —соя7^
3. |а + Ь| = 6, |а — Ь = 14. 4. р = 2а - ЗЪ, 5. d = 2а - ЗЬ + с. с =
7. р - [-24,32,30), 8. р = 2i-b 3j -2k. 9. 15, \fb93, 10. 2тг/3.
11. 4, 12. З, 27, 300, 13. а --6, /3 = 21. 14. При любых А.
35. (ДВ[ЛЗ -ДЗ]) = 0. 16. (a [be}) = 0. с = 5а + Ь.