<<
>>

§ 9. Различные виды уравнений плоскости

1. Общее уравнение плоскости. Пусть задана плоскость в неко-торой декартовой прямоугольной системе координат. Возьмём на плоскости какую-нибудь точку gfla, z0) И выберем какой угодно {не равный нулю) вектор, перпендикулярный этой плоскости; пусть его координаты будут Л, В, С.
Текущая точка ж) лежит на данной плоскости в том н только в том случае, если векторы п = (А, В, С)

н JWoM = (х — хо,у — z - zq) — перпендикулярны. Тогда имеем

(її ¦ ЦЩ ш о или

л(ькд а для - уо)+ск - *о=н ия со PDF-версия с 023 я MirKnig.com

Это к есть уравнение плоскости, проходящей через данную точку А/о^гДь^) и имеющей нормальный вектор п — (А, В, С). Раскрывая в (I) скобки и обозначая D = — Аха - Ву^ — Сщ. получим общее уравнение плоскости;

Ах + By + Cx + D**Q. (2)

Рассмотрим ЕІЄПОЛНЬІЄ уравнения плоскости,

D — 0, Ах 4 By 4- Сг = 0 — плоскость проходит через начало координат.

П. >1 = 0, By 4 Oz 4- D = 0 — плоскость параллельна оси Ох,

В = 0, Ах + Cz 4 D ™ 0 — плоскость параллельна оси Оу.

С —0, Ах + By 4- D — 0 — плоскость параллельна оси Оз.

ПІ. А — D =*0( By 4 Cz — 0 — ПЛОЬЇОСТЬ проходит через ось Ох.

В = D = 0, Ax + Cz — 0 —' плоскость проходит через ось Оу.

С = D = 0. Ах 4 By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.

[V А — В = 0, Сх + -D ™ О — плоскость параллельна плоскости Оху (перпендикулярна оси Oz).

Д = С = 0, By 4- D — 0 — плоскость параллельна плоскости Oxz (перпендикулярна оси Оу).

В ~ С — 0, Ах 4 D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz (перпендикулярна оси Ох).

V, А = В — D — 0r Cz - О или я — (} — плоскость Оху. .

А — С = D = 0, By = 0 или у = 0 — плоскость Oxz,

В ~ С — D = 0, Ах — 0 или л: — 0 — плоскость Oyz.

Нормированное уравнение плоскости. Поскольку в качестве нормального оектора іі(Л,ІЗ,С) можно брать любой не равный нулю перпендикулярный плоскости вектор, то, взяв единичной ректор (нормированный вектор)

п Л1 + Bj 4 Ck

по = r^r = —} - • 1

н + +Сг

получим так называемое нормированное уравнение плоскости

Ах + By 4 Cz 4 D

v П = D = Czq. (3)

+ № 4*С2

Уравнение (3) удобно при нахождении расстояния от точки до плоскости.

Действительно, пусть дана точка ArfifjFi, Нужно найти расстояние точки Мі от плоскости, т.е. \АЩ (см рис. 34).

m = MQMI — - хо, Уі - ZQ),

Лі ± Bj + Ck ( v . і По ——дн -_ ¦¦.. ¦ .- (mtio) — no пр ш. \/Л2 4 Вa .+ C2

Отсюда:

ІчтпіІЬ ко I - яа| |И4Є+Ио

Таким образом, чтобы найти расстояние точки до плоскости, нужно в левую часть нормированного уравнения плоскости (3) подставить координаты данной точки и взять абсолютную величину полученного результата.

Рассмотрим пример.

Найти уравнения плоскостей, параллельных плоскости гс + 2у + 4- 2z 4 G = 0 и отстоящих от неё на расстоянии 5 единиц длины. Искомые уравнения плоскостей определяются нз выражения

t я; + 2у + 1г 4 6

w — I —

или ?-1-21/4 2*4 6 = ±15.

VTT4 + 4

х + 2у 4- 2z + 21 = 0, х 4 н- 2z - 9 = О. в 0 і *~DV D D t получим

¦ о " + I +

а. Ъ 5-І.

с 3. Уравнение плоскости в отрезках. Переписав уравнение (2) в виде (при условии А Ф О, В ф О, С ф О, D Ф 0)

А D

и обозначив а — —Ь =

Это и есть уравнение плоскости в отрезках, где а, Ь, с есть величины отрезков, которые плоскость отсекает от координатных осей,

4- Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть даны две плоскости Аіх + Віу 4 CiZ 4 — 0 и А^х 4- В%у 4 C?.z 4- D2 = 0- Тогда:

если плоскости параллельны, то нормальные векторы

иіОАьВі.Сі), п3(Л2,?2,С2) коллинеарны. Условие параллельности плоскостей есть

Ai _ Вх = Gi.

Л2 В2 Сі1

если плоскости перпендикулярны, то и нормальные векторы iii и ні перпендикулярны, поэтому уновле пмленкулярноети Двух

126 Аналитическая геометрия и элементы векторной алгебры f Гл . П

плоскостей есть АіЛ2 + ВхВъ + С1С2 « 0 {скалярное произведение

векторов пі и т равно нулю);

3} из определения скалярного произведения векторов щ и находим угол между двумя плоскостями:

|(mna)[ _ __ AiAtt-r. HiBi + C'iC*

^^ = й Щ ™ + щ + с? у}ц + щ + Щ'

Задача 48, Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку уи -і) параллельно плоскости Ах + By + Cz +

-f D ~ Q.

Решение.

За нормальный вектор искомо» плоскости можно взять вектор тогда уравнение искомой плоскости есть

А(х - хг) + Blv - j/i) + C(z - zi) = 0,

Задача 49. Составить уравнение плоскости, проходящей через

три заданные точки Mifai, Jh,Sj),

Решение. Возьмём текущую точку M(x,y,z) искомой плоскости

и найдём координаты векторов MiM, MiMj, Mi Ma

MiM {х-ять у -і},

Л/іЛ/а = - Уи*2 - zi}>

МгМъ = -^itVa - -

Точка М будет лежать из плоскости с точками Ma, АГд,

если векторы MjM, AfiM3l Л*іМз будут компланарны, следовательно, Смешанное произведение этих векторов будет равно нулю. Поэтому уравнение искомой плоскости имеет вид:

x-xi y-yi z — zi

Х2-Х1 lft-ї/і " і'] — 0. Я'Л -^і уз - У\ -З - Z\

Другой способ. Запишем уравнение искомой плоскости в виде па? + 0у + yz + 1 = 0, где л = (Я^О)-

Так как плоскость проходит через три точки, то имеем систему трёх уравнений с тремя неизвестными а, 7:

+ frte + 7*2 - -], аїл + Зуз + 7^з =¦ —1,

Решая эту енрвк найв ем bJ1, р.

Задача 50. Составить уравнение плоскости, проходящей ч^ел

две точки МЦХ!,!/!,*)) и M2{x2iy2,zi) и перпендикулярной плоско-'ти Ах 4 By 4 Cz + D = О

Решение. Возьмём текущую точку М(х.у^) на искомой

плоскости; тогда векторы Щм = (г ~ хиу -yltz - МЇМг =

= {й2 - хі,у2 - Уи22 - И 11 = {АУВ, С} должны быть компланарны, т.е.

X — Ті

= 0.

у-у 1 2 - Zl - ЦІ — у I 22 -

ABC

Это и есть уравнение искомой плоскости.

Задача 51. Составить уравнение плоскости, проходя щей через точку Mi(xi,y:,zi) перпендикулярно непараллельным плоскостям А їх 4 В1У + G'i z + Dl ^ 0 и A2x + B2y h C2z + DS=0,

Решение. Так как n = [щп2] Перпендикулярен к nL и п3, то он перпендикулярен искомой плоскости. Следовательно, его можно взять за нормальный вектор искомой плоскости. Текущая точка M{xty,z)

будет лежать в плоскости, если (^MiM - nj =. О

(MiM¦ [пі па] J =

х-т у — in z - Z1

= 0.

Лі Ді Сі

л2 Вї с2

Это и есть уравнение искомой плоскости,

Задача 52.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,4, —б) параллельно двум векторам (3,1р —1), а2(1, -2,1),

Решение. За нормальный вектор искомой плоскости возьмём пек- тор n = [aja^J — (-1, -4t-7)( тогда уравнение искомой плоскости есть —(я — 3) - 4[у - 4) - 7(z 4 5) — 0 или я + Ау 4 7z 4 16 = 0.

Задача 53. Найти расстояние между параллельными плоскостями х - 2у -2z - 12 = 0 и х - 2у - 2z - 6.= 0.

Решение. Для определения искового расстояния выберем фиксированную точку на одной плоскости и пусть xi - yi = 0, тогда Zi = -6. Уравнение другой плоскости запишем а нормированном виде и найдём расстояние точки М(0, 0,-6) до этой плоскости:

Xi - 2уі - - 6

а —

VT4444

0 - 2 Q 4 12 - 6 _ 6 _

3 " "

Замечание. Отметим, что какую бы точку M^y^zt) на плоскости я - 2у - 2z ~ 12 — 0 мы ни взяли, будет выполняться соотношен:^ Хі-2уі- 2ц - 12, тогда

ь к* - д

|.|її*«|„е

Задача 54. Составить уравнения ЛЛОСЕЮСТЄЙ, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями: 5s - 5у - 2z - 3 - 0, і + 7у - 2z + 1 ~ 0.

Решение. Каждая точка Л/(я, г/, г), находящаяся на плоскости, которая делит двугранный угол пополам, равноудалена от заданных плоскостей. Поэтому, используй нормированное уравнение плоскости для определения расстояния точки M(x,y,z) до одной плоскости т и до другой плоскости и учитывая, что ах = получим

(х і- 7у - 2z + I)

ч/54

(5* — Ьу — 2z - 3)

Раскрывая модули, имеем уравнения искомых плоскостей х - Зу - 1 = 0. Зх -Ь у - 2z - 1 = 0.

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 9. Различные виды уравнений плоскости:

  1. 4.1 Анализ ковариационных матриц навигационных решений при различных созвездиях опрашиваемых НС
  2. Логический отбор видов аппроксимирующей функции.
  3. § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса
  4. § 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости
  5. § 9. Различные виды уравнений плоскости
  6. § 64. Постановка, различные формы записи и геометрическая интерпретация задач линейногопрограммирования
  7. § 1. УРАВНЕНИЕ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ
  8. Содержание дисциплины
  9. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
  10. ПЕРЕЧЕЬ ТЕМ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
  11. Уравнение прямой на плоскости.
  12. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  13. в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие.