§ 9. Различные виды уравнений плоскости

н JWoM = (х — хо,у — z - zq) — перпендикулярны. Тогда имеем

(її ¦ ЦЩ ш о или

л(ькд а для - уо)+ск - *о=н ия со PDF-версия с 023 я MirKnig.com

Это к есть уравнение плоскости, проходящей через данную точку А/о^гДь^) и имеющей нормальный вектор п — (А, В, С). Раскрывая в (I) скобки и обозначая D = — Аха - Ву^ — Сщ. получим общее уравнение плоскости;

Ах + By + Cx + D**Q. (2)

Рассмотрим ЕІЄПОЛНЬІЄ уравнения плоскости,

D — 0, Ах 4 By 4- Сг = 0 — плоскость проходит через начало координат.

П. >1 = 0, By 4 Oz 4- D = 0 — плоскость параллельна оси Ох,

В = 0, Ах + Cz 4 D ™ 0 — плоскость параллельна оси Оу.

С —0, Ах + By 4- D — 0 — плоскость параллельна оси Оз.

ПІ. А — D =*0( By 4 Cz — 0 — ПЛОЬЇОСТЬ проходит через ось Ох.

В = D = 0, Ax + Cz — 0 —' плоскость проходит через ось Оу.

С = D = 0. Ах 4 By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.

[V А — В = 0, Сх + -D ™ О — плоскость параллельна плоскости Оху (перпендикулярна оси Oz).

Д = С = 0, By 4- D — 0 — плоскость параллельна плоскости Oxz (перпендикулярна оси Оу).

В ~ С — 0, Ах 4 D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz (перпендикулярна оси Ох).

V, А = В — D — 0r Cz - О или я — (} — плоскость Оху. .

А — С = D = 0, By = 0 или у = 0 — плоскость Oxz,

В ~ С — D = 0, Ах — 0 или л: — 0 — плоскость Oyz.

Нормированное уравнение плоскости. Поскольку в качестве нормального оектора іі(Л,ІЗ,С) можно брать любой не равный нулю перпендикулярный плоскости вектор, то, взяв единичной ректор (нормированный вектор)

п Л1 + Bj 4 Ck

по = r^r = —} - • 1

н + +Сг

получим так называемое нормированное уравнение плоскости

Ах + By 4 Cz 4 D

v П = D = Czq. (3)

+ № 4*С2

Уравнение (3) удобно при нахождении расстояния от точки до плоскости.

m = MQMI — - хо, Уі - ZQ),

Лі ± Bj + Ck ( v . і По ——дн -_ ¦¦.. ¦ .- (mtio) — no пр ш. \/Л2 4 Вa .+ C2

Отсюда:

ІчтпіІЬ ко I - яа| |И4Є+Ио

Таким образом, чтобы найти расстояние точки до плоскости, нужно в левую часть нормированного уравнения плоскости (3) подставить координаты данной точки и взять абсолютную величину полученного результата.

Рассмотрим пример.

Найти уравнения плоскостей, параллельных плоскости гс + 2у + 4- 2z 4 G = 0 и отстоящих от неё на расстоянии 5 единиц длины. Искомые уравнения плоскостей определяются нз выражения

t я; + 2у + 1г 4 6

w — I —

или ?-1-21/4 2*4 6 = ±15.

VTT4 + 4

х + 2у 4- 2z + 21 = 0, х 4 н- 2z - 9 = О. в 0 і *~DV D D t получим

¦ о " + I +

а. Ъ 5-І.

с 3. Уравнение плоскости в отрезках. Переписав уравнение (2) в виде (при условии А Ф О, В ф О, С ф О, D Ф 0)

А D

и обозначив а — —Ь =

Это и есть уравнение плоскости в отрезках, где а, Ь, с есть величины отрезков, которые плоскость отсекает от координатных осей,

4- Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть даны две плоскости Аіх + Віу 4 CiZ 4 — 0 и А^х 4- В%у 4 C?.z 4- D2 = 0- Тогда:

если плоскости параллельны, то нормальные векторы

иіОАьВі.Сі), п3(Л2,?2,С2) коллинеарны. Условие параллельности плоскостей есть

Ai _ Вх = Gi.

Л2 В2 Сі1

если плоскости перпендикулярны, то и нормальные векторы iii и ні перпендикулярны, поэтому уновле пмленкулярноети Двух

126 Аналитическая геометрия и элементы векторной алгебры f Гл . П

плоскостей есть АіЛ2 + ВхВъ + С1С2 « 0 {скалярное произведение

векторов пі и т равно нулю);

3} из определения скалярного произведения векторов щ и находим угол между двумя плоскостями:

|(mna)[ _ __ AiAtt-r. HiBi + C'iC*

^^ = й Щ ™ + щ + с? у}ц + щ + Щ'

Задача 48, Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку уи -і) параллельно плоскости Ах + By + Cz +

-f D ~ Q.

Решение.

А(х - хг) + Blv - j/i) + C(z - zi) = 0,

Задача 49. Составить уравнение плоскости, проходящей через

три заданные точки Mifai, Jh,Sj),

Решение. Возьмём текущую точку M(x,y,z) искомой плоскости

и найдём координаты векторов MiM, MiMj, Mi Ma

MiM {х-ять у -і},

Л/іЛ/а = - Уи*2 - zi}>

МгМъ = -^itVa - -

Точка М будет лежать из плоскости с точками Ma, АГд,

если векторы MjM, AfiM3l Л*іМз будут компланарны, следовательно, Смешанное произведение этих векторов будет равно нулю. Поэтому уравнение искомой плоскости имеет вид:

x-xi y-yi z — zi

Х2-Х1 lft-ї/і " і'] — 0. Я'Л -^і уз - У\ -З - Z\

Другой способ. Запишем уравнение искомой плоскости в виде па? + 0у + yz + 1 = 0, где л = (Я^О)-

Так как плоскость проходит через три точки, то имеем систему трёх уравнений с тремя неизвестными а, 7:

+ frte + 7*2 - -], аїл + Зуз + 7^з =¦ —1,

Решая эту енрвк найв ем bJ1, р.

Задача 50. Составить уравнение плоскости, проходящей ч^ел

две точки МЦХ!,!/!,*)) и M2{x2iy2,zi) и перпендикулярной плоско-'ти Ах 4 By 4 Cz + D = О

Решение. Возьмём текущую точку М(х.у^) на искомой

плоскости; тогда векторы Щм = (г ~ хиу -yltz - МЇМг =

= {й2 - хі,у2 - Уи22 - И 11 = {АУВ, С} должны быть компланарны, т.е.

X — Ті

= 0.

у-у 1 2 - Zl - ЦІ — у I 22 -

ABC

Это и есть уравнение искомой плоскости.

Задача 51. Составить уравнение плоскости, проходя щей через точку Mi(xi,y:,zi) перпендикулярно непараллельным плоскостям А їх 4 В1У + G'i z + Dl ^ 0 и A2x + B2y h C2z + DS=0,

Решение. Так как n = [щп2] Перпендикулярен к nL и п3, то он перпендикулярен искомой плоскости. Следовательно, его можно взять за нормальный вектор искомой плоскости. Текущая точка M{xty,z)

будет лежать в плоскости, если (^MiM - nj =. О

(MiM¦ [пі па] J =

х-т у — in z - Z1

= 0.

Лі Ді Сі

л2 Вї с2

Это и есть уравнение искомой плоскости,

Задача 52.

Решение. За нормальный вектор искомой плоскости возьмём пек- тор n = [aja^J — (-1, -4t-7)( тогда уравнение искомой плоскости есть —(я — 3) - 4[у - 4) - 7(z 4 5) — 0 или я + Ау 4 7z 4 16 = 0.

Задача 53. Найти расстояние между параллельными плоскостями х - 2у -2z - 12 = 0 и х - 2у - 2z - 6.= 0.

Решение. Для определения искового расстояния выберем фиксированную точку на одной плоскости и пусть xi - yi = 0, тогда Zi = -6. Уравнение другой плоскости запишем а нормированном виде и найдём расстояние точки М(0, 0,-6) до этой плоскости:

Xi - 2уі - - 6

а —

VT4444

0 - 2 Q 4 12 - 6 _ 6 _

3 " "

Замечание. Отметим, что какую бы точку M^y^zt) на плоскости я - 2у - 2z ~ 12 — 0 мы ни взяли, будет выполняться соотношен:^ Хі-2уі- 2ц - 12, тогда

ь к* - д

|.|її*«|„е

Задача 54. Составить уравнения ЛЛОСЕЮСТЄЙ, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями: 5s - 5у - 2z - 3 - 0, і + 7у - 2z + 1 ~ 0.

Решение. Каждая точка Л/(я, г/, г), находящаяся на плоскости, которая делит двугранный угол пополам, равноудалена от заданных плоскостей. Поэтому, используй нормированное уравнение плоскости для определения расстояния точки M(x,y,z) до одной плоскости т и до другой плоскости и учитывая, что ах = получим

(х і- 7у - 2z + I)

ч/54

(5* — Ьу — 2z - 3)

Раскрывая модули, имеем уравнения искомых плоскостей х - Зу - 1 = 0. Зх -Ь у - 2z - 1 = 0.