§ 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости

¦ Hzl, штнїлАкОНслр" «0®- Н

Уравнение у — кх + Л называется уравнением прямой с угловым ко-эффициентом, причём оно первого порядка относительно переменных х и у (текущих координат), При получении этого уравнения предполагалось, что прямая не параллельна оси Оу Пусть теперь прямая параллельна оси Оу, тогда при пересечении оси Ох она отсекает от неё отрезок х — о, причём любая точка* лежащая на этой прямой, будет иметь абсциссу х — а. Следовательно, эта прямая имеет уравнение х = а — уравнение первой степени. Таким образом, всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени.

2. Общее уравнение прямой. Общее уравнение первой степени относительно х и у имеет пид: Ах + By + С О, А, В. С — произвольные числа (А и В — одновременно не равны нулю, иначе уравнение не содержало бы переменных а: и у и не было бы уравнением). Пусть В ^ 0, тогда это уравнение можно записать ft виде:

h с

А С I к

¦ В'

У = - дЯ - з - ЯХ

Уравнение у = кх + & — есть уравнение прямой (см. выше). Если В = 0Т то Ах + С — 0. или х ~ - ^ — т, е. і = а- Итак, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение типа Ах + By — О = 0 называют общим уравнением прямой. Рассмотрим частные случаи,

0 = 0. Уравнение имеет вид Ах + Ву =0 и определяет прямую, проходящую через начало координат (у = кх),

В — 0 (А Ф 0), Уравнение имеет вид Ах +С = 0, или х — а (а —

= — прямая, параллельная оси Оу,

А ^ 0 (В ^ 0)- Уравнение имеет вид By + С — 0, или у = Ь (Ь * = — ^ — прямая, параллельная оси Ох.

3.

= ——( Ь — —^ которое называется уравнением прямой в отрезках.

Действительно, Ах Л- By - -С, или = 1 Тогда имеем

1 ^ У-л unu ? .и У.

^ 1 ИЛИ - + f- as 1.

С С а Ь

В

Эту форму уравнения удобно использовать для построении прямой. Для построения прямой достаточно отметить две ее точки: при х — О

получаем У = —g, пря у - 0 имеем х = а = ~

Задача 3. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1,1) н отсекает от координат и о го угла треугольник с площадью, равной 2 ка, ед.

Решение. Запишем уравнение искомой прямой в отрезках — -f U. — 1. Нужно найтм а и Ь. Так как прямая проходит через С(1,1), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению этой прямой:

і -і- I SB і илн й+Ь — ab,

а о

Площадь треугольника, отсекаемого от координатного угла, равна ±6' — - fib или ab = і 4, Таким образом, нужно решить две системы уравнений:

{ Ґ а + Ь = ± 2 Г 4,

I ab ™ 4; | ub — —4.

Решая эти системы получим:

1. Ь = 4 - tth <г(4 - а) = 4, а2 - 4а + 4 = 0; ах = 2, ^ = 2. 2J- -4 - а, й(4 + а) = 4, а2. А 4а - 4 =» 0; аЙ,з -2±2уД. а2 = -2 -h 2\/2, = -2 -2v/2 , аз = -2-2^, Ь3 = -2 4-2^/2. Условию задачи удовлетворяют три прямые:

ОЇ + І-ІІ

2} + =1;

2i/2 — 2 —2 — 2v/2

3) д - Л = ].

-2-2>/2 2^2-2

4, Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направлением, Пусть дана точка н углопой коэффициент к, определяющий направление прямой, проходяшей череэ точку Л/](л:І7уі) (см. рис, 7).

Возьмём на прямой текущую точку М(хуу). Из рисунка видно, что точка у) будет лежать на прямой в том и только том случае, если

|_ — — tgo = fc- Отсюда у — уі ~ к[х — .ті) — это уравнение прямой,

проходящей через заданную точку A/I(TI,J/I) с заданным направлением.

5- Уравнение прямой j проходящей через две точки.

находим по формуле

te о> = к =

— Х\

(см. предыдущий пункт) и, подставляя его в уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направлением^ получим:

„ ,, - Уч-Ы „ \ uniJ У-Уі _ s - si

У — Vl ~ —xij или —

32 - Яі Уч-Уї Хя —Vl

Это уравнение также можно получить на условия, при котором три точки Mi^xuyi), Af2(®3»3fc) я лежат на одной прямой

(см. § 3, п. КОСТИСТИМ, что в случае, когда = (или у\ = ito), один из знаменателей уравнения равен нулю. Тогда соответствующий числитель тоже равен нулю. Например, провести прямую через точки Л/(4,8) и М(4,-2):

% —4 у 8

~~ -г-ан

Здесь знаменатель левой части равен нулю. Понимая это уравнение в вышеуказанном смысле, полагаем числитель левой части равным нулю. Получим 1 — 4 — 0,

ц •

6. Нормальное уравнение прямой.. Пусть задана какая-нибудь прямая. Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную к этой прямой (эту последнюю прямую будем называть нормалью). Пусть точка А есть точка пересечения нормали с данной прямой. Обозначим р — jОА[> а о — угол, образованный нормалью и осью Оз.г. Возьмём на данной прямой произвольную точку А/ с координатами х и у (см. рис.8), причём х — \ ОМ' cos р, у = [ОМ] зіп уз, а

р Ж |ОА; - \ОМ\cos(a - у) — О Af] cos а СОЙ ^ -f \ОМ\sinorain tp =

только . для ознакомл а+у sina. PDF-версия с 69 я MirKnig.com

Окончательно получим уравнение: хсоаа + ysiiiO' — р = 0 — это уравнение называется нормальным /равнением прямой, причём х и j/ — текущие координаты, а р( а — заданы.

Пусть задана прямая: Лд; -Ь By С — 0 — общее её уравнение, a xcosa ±ysina—p = 0 — нормальное её уравнение. Так как эти уравнения определяют одну н ту же прямую, то их коэффициенты должны быть Пропорциональны (см § I):

соє ґі sin cfc v л п ґт

—™ = —g — = д или еоза - V-A, a = ЦВ, Р - -FIC.

Чтобы найти множитель ц, возведем два из этих равенств о квадрат и сложим.

fi2(A2 НЬ В2) - sin2 а + cos2 a = 1.

Отсюда ц - ±(А2 + В3)-1'3 и называется нормирующим множителем. Знак его определяется третьим равенством: /.lС = —р. Следовательно. знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения, а если С = Q, то знак нормирующего множителя можно выбрать по желанию.

Задача 4, Дана прямая Ах 4- By + С = 0 и точка Найти расстояние от точки до прямой (см, рис, 9).

Решение. Для решения зтой задачи опустим н:н ТОЧКИ М на прямую и па нормаль перпендикуляры, Иэ рисунка видно, что

\МС\ = \АВ\ «= \ОВ\ ~pt

так как \ОВ = [ОМ|аЦп - у) = |ОМ|(сга&савр + зІпааіп tp) = - а:і oosof sin а, ти JMC \xi cos а - ^ sin a - pf.

Таким образом, чтпбы вычислить расстояние от точки до пряной, заданной общим уравнением, необходимо:

-¦ привести общее уравнение прямой К нормальному Уравнению; — а левую часть нормального уравнен и л прямой вместо текущих координат подставить координаты данной точки. Полученное таким образом число, взятое по модулю, равно расстоянию от данной точки до данной прнмой.

Пусть даик прямая За 4- 4у - 1 - 0 и точка М(5Т5), тогда нормирующий множитель:

^ Умножая да [гное уравнение на получим нормальное уравнение: -(Злг + 4^ - 1) = О. Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М и беря модуль, получим искомое расстояние: 34 1 — 5 34

5 J

d =

г (5'3 + 4-5- 1)U

L>

Замечание. Величина, стоящая под знаком модуля, называется отклонением точки М от прямой. Обозначим её через 6, т.е. $ = = iioosti- jfismot — р. Знак S указывает на взаимное расположение точки М. прямой н начала координат. Если точка М и начало координат лежат по разные стороны от прямой, то 5 > О, а если точка и начало координат Находятся по одну сторону от прямой, та S < 0.

Задача Б. Вычислить рас сто я н ие между параллельными прям ьшн - iffy 4- 39 = 0 у. 12т - - 2G = 0.

Рейс ни е. Для определения искомого расстояния выберем произ-вольную точку на одной прямой и определим расстояние от ЭТОЙ точки до другой прямой. На прнмой 24т - Hty + 39 = 0 выбере.ч точку х =0, получим у BS 3,9. Тогда расстояние этой точки от прямой \2х - by - — 2Г> — 0 равно (см. задачу 4):

12-0-5

а, у - 26

d =

L3

13

= |—3Ф5| = 3,5.

Замечание. Отметим, что какую бы мы не взялн точку на

прямой 34а; - Юу 39 — 0 будет выполняться равенство — 5yi — - —39/2, поэтому

І 13

знак