<<
>>

§ 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости

Ї, Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть задана декартова прямоугольная система координат на плоскости и некоторая прямая (не параллельная оси ординат), образующая с осью Ох угол а.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой. Выведем уравнение этой прямой, полагая известными её угловой коэффициент к и величину Ь отрезка, который она отсекает на оси Оу. Обозначим координаты переменной точки М через хну. Из рисунка видно, что если точка М лежит на прямой, то tga = к =

¦ Hzl, штнїлАкОНслр" «0®- Н

Уравнение у — кх + Л называется уравнением прямой с угловым ко-эффициентом, причём оно первого порядка относительно переменных х и у (текущих координат), При получении этого уравнения предполагалось, что прямая не параллельна оси Оу Пусть теперь прямая параллельна оси Оу, тогда при пересечении оси Ох она отсекает от неё отрезок х — о, причём любая точка* лежащая на этой прямой, будет иметь абсциссу х — а. Следовательно, эта прямая имеет уравнение х = а — уравнение первой степени. Таким образом, всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени.

2. Общее уравнение прямой. Общее уравнение первой степени относительно х и у имеет пид: Ах + By + С О, А, В. С — произвольные числа (А и В — одновременно не равны нулю, иначе уравнение не содержало бы переменных а: и у и не было бы уравнением). Пусть В ^ 0, тогда это уравнение можно записать ft виде:

h с

А С I к

¦ В'

У = - дЯ - з - ЯХ

Уравнение у = кх + & — есть уравнение прямой (см. выше). Если В = 0Т то Ах + С — 0. или х ~ - ^ — т, е. і = а- Итак, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение типа Ах + By — О = 0 называют общим уравнением прямой. Рассмотрим частные случаи,

0 = 0. Уравнение имеет вид Ах + Ву =0 и определяет прямую, проходящую через начало координат (у = кх),

В — 0 (А Ф 0), Уравнение имеет вид Ах +С = 0, или х — а (а —

= — прямая, параллельная оси Оу,

А ^ 0 (В ^ 0)- Уравнение имеет вид By + С — 0, или у = Ь (Ь * = — ^ — прямая, параллельная оси Ох.

3.

Уравнение прямой в отрезках- Если в общем уравнении прямой Ах + By + С = 0 нн один из коэффициентов А, В, С не равен нулю, то это уравнение можно привести к виду - + т — 1* гАе а — С С

= ——( Ь — —^ которое называется уравнением прямой в отрезках.

Действительно, Ах Л- By - -С, или = 1 Тогда имеем

1 ^ У-л unu ? .и У.

^ 1 ИЛИ - + f- as 1.

С С а Ь

В

Эту форму уравнения удобно использовать для построении прямой. Для построения прямой достаточно отметить две ее точки: при х — О

получаем У = —g, пря у - 0 имеем х = а = ~

Задача 3. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1,1) н отсекает от координат и о го угла треугольник с площадью, равной 2 ка, ед.

Решение. Запишем уравнение искомой прямой в отрезках — -f U. — 1. Нужно найтм а и Ь. Так как прямая проходит через С(1,1), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению этой прямой:

і -і- I SB і илн й+Ь — ab,

а о

Площадь треугольника, отсекаемого от координатного угла, равна ±6' — - fib или ab = і 4, Таким образом, нужно решить две системы уравнений:

{ Ґ а + Ь = ± 2 Г 4,

I ab ™ 4; | ub — —4.

Решая эти системы получим:

1. Ь = 4 - tth <г(4 - а) = 4, а2 - 4а + 4 = 0; ах = 2, ^ = 2. 2J- -4 - а, й(4 + а) = 4, а2. А 4а - 4 =» 0; аЙ,з -2±2уД. а2 = -2 -h 2\/2, = -2 -2v/2 , аз = -2-2^, Ь3 = -2 4-2^/2. Условию задачи удовлетворяют три прямые:

ОЇ + І-ІІ

2} + =1;

2i/2 — 2 —2 — 2v/2

3) д - Л = ].

-2-2>/2 2^2-2

4, Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направлением, Пусть дана точка н углопой коэффициент к, определяющий направление прямой, проходяшей череэ точку Л/](л:І7уі) (см. рис, 7).

Возьмём на прямой текущую точку М(хуу). Из рисунка видно, что точка у) будет лежать на прямой в том и только том случае, если

|_ — — tgo = fc- Отсюда у — уі ~ к[х — .ті) — это уравнение прямой,

проходящей через заданную точку A/I(TI,J/I) с заданным направлением.

5- Уравнение прямой j проходящей через две точки.

Пусть даны точки -Щтьл) к ОЭДд-ЗЯ) прямой, тогда-угловой коэффициент

находим по формуле

te о> = к =

— Х\

(см. предыдущий пункт) и, подставляя его в уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направлением^ получим:

„ ,, - Уч-Ы „ \ uniJ У-Уі _ s - si

У — Vl ~ —xij или —

32 - Яі Уч-Уї Хя —Vl

Это уравнение также можно получить на условия, при котором три точки Mi^xuyi), Af2(®3»3fc) я лежат на одной прямой

(см. § 3, п. КОСТИСТИМ, что в случае, когда = (или у\ = ito), один из знаменателей уравнения равен нулю. Тогда соответствующий числитель тоже равен нулю. Например, провести прямую через точки Л/(4,8) и М(4,-2):

% —4 у 8

~~ -г-ан

Здесь знаменатель левой части равен нулю. Понимая это уравнение в вышеуказанном смысле, полагаем числитель левой части равным нулю. Получим 1 — 4 — 0,

ц •

6. Нормальное уравнение прямой.. Пусть задана какая-нибудь прямая. Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную к этой прямой (эту последнюю прямую будем называть нормалью). Пусть точка А есть точка пересечения нормали с данной прямой. Обозначим р — jОА[> а о — угол, образованный нормалью и осью Оз.г. Возьмём на данной прямой произвольную точку А/ с координатами х и у (см. рис.8), причём х — \ ОМ' cos р, у = [ОМ] зіп уз, а

р Ж |ОА; - \ОМ\cos(a - у) — О Af] cos а СОЙ ^ -f \ОМ\sinorain tp =

только . для ознакомл а+у sina. PDF-версия с 69 я MirKnig.com

Окончательно получим уравнение: хсоаа + ysiiiO' — р = 0 — это уравнение называется нормальным /равнением прямой, причём х и j/ — текущие координаты, а р( а — заданы.

Пусть задана прямая: Лд; -Ь By С — 0 — общее её уравнение, a xcosa ±ysina—p = 0 — нормальное её уравнение. Так как эти уравнения определяют одну н ту же прямую, то их коэффициенты должны быть Пропорциональны (см § I):

соє ґі sin cfc v л п ґт

—™ = —g — = д или еоза - V-A, a = ЦВ, Р - -FIC.

Чтобы найти множитель ц, возведем два из этих равенств о квадрат и сложим.

Тогда получим:

fi2(A2 НЬ В2) - sin2 а + cos2 a = 1.

Отсюда ц - ±(А2 + В3)-1'3 и называется нормирующим множителем. Знак его определяется третьим равенством: /.lС = —р. Следовательно. знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения, а если С = Q, то знак нормирующего множителя можно выбрать по желанию.

Задача 4, Дана прямая Ах 4- By + С = 0 и точка Найти расстояние от точки до прямой (см, рис, 9).

Решение. Для решения зтой задачи опустим н:н ТОЧКИ М на прямую и па нормаль перпендикуляры, Иэ рисунка видно, что

\МС\ = \АВ\ «= \ОВ\ ~pt

так как \ОВ = [ОМ|аЦп - у) = |ОМ|(сга&савр + зІпааіп tp) = - а:і oosof sin а, ти JMC \xi cos а - ^ sin a - pf.

Таким образом, чтпбы вычислить расстояние от точки до пряной, заданной общим уравнением, необходимо:

-¦ привести общее уравнение прямой К нормальному Уравнению; — а левую часть нормального уравнен и л прямой вместо текущих координат подставить координаты данной точки. Полученное таким образом число, взятое по модулю, равно расстоянию от данной точки до данной прнмой.

Пусть даик прямая За 4- 4у - 1 - 0 и точка М(5Т5), тогда нормирующий множитель:

^ Умножая да [гное уравнение на получим нормальное уравнение: -(Злг + 4^ - 1) = О. Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М и беря модуль, получим искомое расстояние: 34 1 — 5 34

5 J

d =

г (5'3 + 4-5- 1)U

L>

Замечание. Величина, стоящая под знаком модуля, называется отклонением точки М от прямой. Обозначим её через 6, т.е. $ = = iioosti- jfismot — р. Знак S указывает на взаимное расположение точки М. прямой н начала координат. Если точка М и начало координат лежат по разные стороны от прямой, то 5 > О, а если точка и начало координат Находятся по одну сторону от прямой, та S < 0.

Задача Б. Вычислить рас сто я н ие между параллельными прям ьшн - iffy 4- 39 = 0 у. 12т - - 2G = 0.

Рейс ни е. Для определения искомого расстояния выберем произ-вольную точку на одной прямой и определим расстояние от ЭТОЙ точки до другой прямой. На прнмой 24т - Hty + 39 = 0 выбере.ч точку х =0, получим у BS 3,9. Тогда расстояние этой точки от прямой \2х - by - — 2Г> — 0 равно (см. задачу 4):

12-0-5

а, у - 26

d =

L3

13

= |—3Ф5| = 3,5.

Замечание. Отметим, что какую бы мы не взялн точку на

прямой 34а; - Юу 39 — 0 будет выполняться равенство — 5yi — - —39/2, поэтому

І 13

знак

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости:

  1. § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса
  2. § 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости
  3. § 6. Линии второго порядка; окружность, эллипс,гипербола, парабола
  4. § 64. Постановка, различные формы записи и геометрическая интерпретация задач линейногопрограммирования
  5. Кинематические характеристики движения
  6. Содержание дисциплины
  7. ПЕРЕЧЕЬ ТЕМ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
  8. Уравнение прямой на плоскости.
  9. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  10. в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие.
  11. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ