Виды дифференциальных уравнений

Виды дифференциальных уравнений:

▫ Обыкновенные дифференциальные уравнения - уравнения, в которых одна независимая переменная

▫ Дифференциальные уравнения в частных производных - уравнения, в которых независимых переменных две и более

Виды дифференциальных уравнений представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Название		Вид			Способ решения
С разделяющимися переменными		P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 если P(x,y) и Q(x,y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной. Т.е. f(x)g(y)dx+(x)q(y)dy=0 или y’= f(x)g(y)			1.разделить переменные 2.проинтегрировать 3.привести к стандартному виду y=(x)+c – общее решение
Однородные		P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 где P(x,y), Q(x,y) – однородные функции одного измерения или y’= (если в функции заменить x=tx, y=ty и преобразовать вернемся исходному уравнению)			1. замена y=tx, тогда 2. привести к уравнению с разделяющимися переменными и решить (см. выше). 3. вернуться к замене, подставить 4. привести к стандартному виду y=
Линейные	y’+P(x)y=Q(x) (y’ и у’ входят в первых степенях не перемножаясь между собой) а) линейное однородное y’+P(x)y=0 б) линейное неоднородное y’+P(x)y=Q(x) в) уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)y’’				1. замена y=uv,тогда y’=u’v+v’u 2. u’v+v’u+ P(x) uv= Q(x) v(u’+P(x)u)+v’u= Q(x) () 3. в уравнении () приравнять скобку к нулю u’+P(x)u=0 – c разделенными переменными найти u u=P(x) 4. значение u подставить в уравнение (*) v’P(x)=Q(x) - c разделенными переменными найти v v=F(x)+c 5. вернуться к замене y=P(x)(F(x)+c) – общее решение
Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.
Допускающие понижения порядка			y’’=f(x)	Решаются двойным интегрированием


Линейные однородные второго порядка с постоянными коэффициентами			y’’+py+qy=0 где p, q – заданные числа Всякое Л.О.У. второго порядка имеет систему двух линейно независимых частных решений. которая называется фундаментальной системой решений. Общее решение есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы
				1.Составить характеристическое уравнение

				2.в зависимости от вида корней, фундаментальная система решений имеет вид:
				корни характеристического уравнения		фундаментальная система частных решений	общее решение
				действительные
				Различные
				Действительные			или
				Равные k1=k2=kR
				Комплексные (мнимые)
				Комплексные