<<
>>

Решение задач

Пример 1. Найти общие интегралы уравнения:

(x + 1)3 dy – (y – 2)2dx = 0.

Решение:

Разделим переменные в данном уравнении, деля его обе части на (x + 1)3 (y – 2)2.

dy – dx = 0.

(y – 2)2 (x + 1)3

Получено интегрируя первое слагаемое по y, а второе по x, получим искомое общее решение:

- 1 – 1 = C

y - 2 2(x + 1)2

Пример2 Найти частное решение дифференциального уравнения dy = (x – 1 )dx при x0 = 2, y0 = 5.

y

Решение:

dy = xdx – dx;

y

∫dy = ∫xdx - ∫dx;

у

ln|y| = 0,5x2 – x + lnC.

Есть правило: если в решении содержится логарифм, то константу интегрирования С также записываем как lnC. Умножим (0,5х2 – х) на lne, (lne = 1)

ln|y| = lne0.5x – x + lnC;

|y| = C · e0,5x – x

– это общее решение дифференциального уравнения. Найдём частное решение. Для этого вычислим С при х0 = 2 и у0 = 5.

5 = Се2 - 2=>С = 5.

Частное решение

у = 5е0,5х – х.

Пример3 Решить уравнение 2ydy + dx = 0.

х + 2

Решение:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем оба слагаемых:

y2 + ln|x + 2| = C.

Пример4 Концентрация лекарственного вещества в крови животного уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое.

Решение:

Скорость изменения концентрации и концентрации и концентрация C в любой момент времени t связана соотношением:

-dC=kC,

где k – коэффициент пропорциональности, который не зависит от времени. Знак «–» поставлен потому, что концентрация убывает с ростом времени.

Решаем это уравнение 1-го порядка методом разделения переменных:

dC=–kdt.

После интегрирования это дает:

ln C=–kt+lnC0, C=C0e–kt.

Подставляя сюда концентрацию при t=0, найдем C0=0,2мг/л.

При t=23 часа 0,1 = 0,2e–23k или 2 = e23k.

k=ln2=0,69=0,03 ч–1.

Закон изменения концентрации:

C(t)=0,2e–0,03t(мг/л).

Пример5 По Ньютону скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха. Если температура воздуха 20°C, и тело в течении 20 минут охладилось от 100°C до 60°C, то через сколько времени t° тела станет равной 30°C?

Решение:

Обозначим температуру тела T:

dT=–k(T–20), dT=kdt, ln|T–20|=kt+C.

Найдем С из начальных условий при t=0, T=l00°C:

ln80=k·0+C, C=ln80,

ln|T–20|–ln80=kt+C,

lnT–20=kT, lnT–20=ekT,

T–20=80ekT.

Найдем k из дополнительных условий: за 20 минут температура тела уменьшилась на 40°C:при t=20 мин T=60°C: 60 – 20 = 80 e20k, 40=80e20k,e20k=1,k=–ln2, T–20=80e–ln2t.

Вычислим теперь, через сколько времени температура тела станет равной 30°C:

30 – 20=80e–ln2t, t = 20ln23=60(мин).

Пример6 Популяция бактерий x(t) растет так, что скорость ее роста в момент времени t (t-часы) равна одной десятой от размера популяции. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Чему равен размер популяции спустя 10 часов, если начальное условие x(0) = 1000?

Решение:

Пусть x(t) – размер популяции в момент времени t. Скорость роста dx. Тогда по условию скорость роста dx в момент времени t равна 0,1x. Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его: dx = 0,1dt;

ln|x|=0,1t+lnC; ln|x|=0,1tlne+lnC;

x=Ce0,1t–общее решение

Если t=0,x=1000.

Найдем C:1000=С;

x=1000·e0,1t – частное решение.

После 10 часов размер популяции становится равным:

x(10)=1000e0,1·10=1000e=2718.

<< | >>
Источник: Лабгаева Эмма Владимировна. Методические указания для студентов по проведению практических занятий по дисциплине «Математика». 2007

Еще по теме Решение задач:

  1. Психологическая (морально-психологическая)подготовка направлена на решение следующих задач1:
  2. §1.2. Решение задачи о перекрестном токе с неравномерными входными температурами.
  3. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  4. 5.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ НОРМАМИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
  5. 2.2 АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
  6. 2.2П АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
  7. 7.3. Графическое решение задачи линейного программирования
  8. 17.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ
  9. 11.2. Методы решения оптимизационных задач
  10. Социально-психологические факторы эффективности группового решения творческих задач.  
  11. Этап развития команды как фактор успешного группового решения творческих задач.  
  12. 8.4.7. ЭСКИЗНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ
  13. Решение задачи Коши методом Даламбера. ( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)