Решение задач

Пример 1. Найти общие интегралы уравнения:

(x + 1)3 dy – (y – 2)2dx = 0.

Решение:

Разделим переменные в данном уравнении, деля его обе части на (x + 1)3 (y – 2)2.

dy – dx = 0.

(y – 2)2 (x + 1)3

Получено интегрируя первое слагаемое по y, а второе по x, получим искомое общее решение:

- 1 – 1 = C

y - 2 2(x + 1)2

Пример2 Найти частное решение дифференциального уравнения dy = (x – 1 )dx при x0 = 2, y0 = 5.

y

Решение:

dy = xdx – dx;

y

∫dy = ∫xdx - ∫dx;

у

ln|y| = 0,5x2 – x + lnC.

Есть правило: если в решении содержится логарифм, то константу интегрирования С также записываем как lnC. Умножим (0,5х2 – х) на lne, (lne = 1)

ln|y| = lne0.5x – x + lnC;

|y| = C · e0,5x – x

– это общее решение дифференциального уравнения. Найдём частное решение. Для этого вычислим С при х0 = 2 и у0 = 5.

5 = Се2 - 2=>С = 5.

Частное решение

у = 5е0,5х – х.

Пример3 Решить уравнение 2ydy + dx = 0.

х + 2

Решение:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем оба слагаемых:

y2 + ln|x + 2| = C.

Пример4 Концентрация лекарственного вещества в крови животного уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое.

Решение:

Скорость изменения концентрации и концентрации и концентрация C в любой момент времени t связана соотношением:

-dC=kC,

где k – коэффициент пропорциональности, который не зависит от времени. Знак «–» поставлен потому, что концентрация убывает с ростом времени.

Решаем это уравнение 1-го порядка методом разделения переменных:

dC=–kdt.

После интегрирования это дает:

ln C=–kt+lnC0, C=C0e–kt.

Подставляя сюда концентрацию при t=0, найдем C0=0,2мг/л.

При t=23 часа 0,1 = 0,2e–23k или 2 = e23k.

k=ln2=0,69=0,03 ч–1.

Закон изменения концентрации:

C(t)=0,2e–0,03t(мг/л).

Пример5 По Ньютону скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха. Если температура воздуха 20°C, и тело в течении 20 минут охладилось от 100°C до 60°C, то через сколько времени t° тела станет равной 30°C?

Решение:

Обозначим температуру тела T:

dT=–k(T–20), dT=kdt, ln|T–20|=kt+C.

Найдем С из начальных условий при t=0, T=l00°C:

ln80=k·0+C, C=ln80,

ln|T–20|–ln80=kt+C,

lnT–20=kT, lnT–20=ekT,

T–20=80ekT.

Найдем k из дополнительных условий: за 20 минут температура тела уменьшилась на 40°C:при t=20 мин T=60°C: 60 – 20 = 80 e20k, 40=80e20k,e20k=1,k=–ln2, T–20=80e–ln2t.

Вычислим теперь, через сколько времени температура тела станет равной 30°C:

30 – 20=80e–ln2t, t = 20ln23=60(мин).

Пример6 Популяция бактерий x(t) растет так, что скорость ее роста в момент времени t (t-часы) равна одной десятой от размера популяции. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Чему равен размер популяции спустя 10 часов, если начальное условие x(0) = 1000?

Решение:

Пусть x(t) – размер популяции в момент времени t. Скорость роста dx. Тогда по условию скорость роста dx в момент времени t равна 0,1x. Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его: dx = 0,1dt;

ln|x|=0,1t+lnC; ln|x|=0,1tlne+lnC;

x=Ce0,1t–общее решение

Если t=0,x=1000.

Найдем C:1000=С;

x=1000·e0,1t – частное решение.

После 10 часов размер популяции становится равным:

x(10)=1000e0,1·10=1000e=2718.