<<
>>

§ 10, Прямая линия в пространстве

Канонические уравнения прямой. Пусть дана какая-нибудь прямая. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.
Обозначим его буквой а, его координаты — f, m, n, т.е. а = Пусть данная прямая проходит через данную точку AJbfobJAh^o) и имеет направляющий вектор а = (Itmtn). Тогда текущая точка Af(x,y*z) будет лежать на данной прямой, если вектор

МІМ — {х - xq,у - yo^z - гр) будет колли неарен сектору а - {(, непоследовательно, координаты МоЛ/ пропор дюна льны координатам вектора а:

з - Д о _ У ~ Уо „ z - до ^ I j

I т п '

Уравнения (1) есть искомые уравнения прямой, проходящей через данную точку Mq[tq} їдь -о) н имеющей направляющий вектор а = = (f,m,n). Этн уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой. Пусть даны канонические уравнения прямой. Обозначив буквой t каждое иэ равных отношений, получим

я — т<а У ~ уа _ z — гц __ ^ ! т п

Отсюда нмеем'

д: = + Jt, У-Уа+ wstt z = z0 + пі. (2)

Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку ЛІЬ(аР0іїй,2ь) в направлении вектора а = = t — параметр, областью его изменения является вся веще

ственная ось (к! |

З. Уравнении прямой, проходящей через дне точки М1(ягі,уь^і) и М^Тъ^Еъ). За направляю!дни вектор такой прямой можно принять а ~ {х2 — — -лі). Тогда на основании (I) получим.

х - Л-1 _ у - у і _ Z — Zi ^

«1- Х I у-2 — 1/1 2-і - Z\

4, Прямая линия как линия пересечения диух плоскостей.

Прямую в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей. Всякие две не параллельные между собой плоскости с общими уравнениям»

{

А^ + Віу+Сії + Ог

А2х + Diy + D2 - 0 {>

определяют прямую их пересечении. От уравнений (4) можно перейти е( уравнению (1).

Для этого нужно знать какую-нибудь точку прямой и направляющий вектор. Координаты точки можно найтн из уравЕїе- ний (4), выбирая одну из координат произвольно и решая после этого систему двух уравнений относительно оставшихся двух координат. Направляющий вектор примой должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам щ = (Лі,.#1, СИ и П2 - (Лз^г^Сз) этих плоскостей, так что можно положить а — рППз] ¦ Рассмотрим это на примере.

Задача 55. Составить канонические уравнения прямой х — 2у 4- + Зг - 4 = G, Зя I- 2у - Ъх - 4 = 0.

Решение. Полагая zq ;= О, получим х — 2у = 4 и За + 2у ~ 4. Отсюда находим i0 = 2 и = -1. Таким образом, координаты точки найдены: Мо(2,—1,0) Теперь найдём направляющий вектор а:

а = [щ n2j =

і .І k

= 4і + 14j +- 8k.

1-2 3

3 2-5

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку Ми и имею-щей направляющий вектор а, имеют вид:

& — 2 _ У Н-1 _ г х — 3 _ у 41 _ Z

" " Т ИЛ И "Т™™ __ ~"г л-

4 14 0 2 74

Замечание. Можно взять две произвольные точки, удовлетворяющие исходной системе, и составить канонические (параметрические) уравнения прямой, проходящей через две точки (см, П.З ИЛИ п. 1). Пусть одна точка будет A/q(2, -1-0), а для нахождения второй точки полагаем ?] = О, получим —2у + Згг — А = О и 2у — 5z — 4 = 0, отсюда находкм у\ — —8, z\ — —4. Тогда направляющий вектор а M\Mq имеет координаты а = (х$ — Хі^уя — — z\) = (2; 7; 4). Затем составляем уравнения искомой прямой.

f Г „і J І ?

] ЗО Аналитическая геометрия я элементы векторной алгебрьі , L^^L

5. Угол между прямыми в пространстве. Условие napaJ»-rх ~ л _ у - ці _ г - ? - xg _ у-yi _ _

ti nil "і h пїа ЇЙ

Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к определение угла между их направляющими векторами аі - = (її,mi,Пі), аа — "-а}- Пользуясь определением скалярного

произведения (aiaa}— |ai||aa| oosy>, получим:

t\h + m;ms + ПіПа

cos tp =

УЇІ+mfi nf yjq + in\ + n 1 УСЛОПЛЙ параллельности двух прямых есть

JTLi Jli І2 ПІ2 П2

Если прямые перпендикулярны, то aj _L а^ и

(аіа^) = ІіІ2 + тут2 + ПЩ2 = О-

Замечание.

Две прямые в пространстве могут; ]) бить» параллельными {в частности совпадать); 2) пересекаться (лежать її одной плоскости); 3} быть скрещивающимися.

6. Условие параллельности и перпендикулярности пря мой и плоскости. Пусть плоскость задана общим уравнением Ах -Ь By +

+ Cz Ч" D ™ 0, а прямая каноническими уравнениями % ~ = ' ~ — . Прямая параллельна плоскости в том и только в том слу-

«

чае, когда направляющий вектор прямой a = перпеіщнісулярен

к нормальному вектору плоскости п — (А, В,С), тогда условие параллельности прямой н плоскости есть Л1 + Вт + Сп = 0,

Прямая перпендикулярна к плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор а этой прямой каллинеарен нормальному вектору плоскости п. Отсюда условие перпендикулярности прямой н плоскости есть: 4 R С

V - — = —"

I т п

Угол ір между прямой и плоскостью определяется по формуле

тВ + jvCl

(к \ . |(А-И ста Г - - Ы « sin^ - ¦ — ,

Iа \/А2 4-й3 +¦ С* Числитель взят по модулю, так как йіп^ ^ 0,

Задача 56, Найти точку пересечения прямой и плоскости SZ 1

\2 * + ma -І- п*

Решение. Записав параметрические уравнения прямой х — 1 і, у =.-1 ~ 2t, z ^ Ы а подставляя эти выражения в уравнение плоскости: 2 -f- 2Ь - 3 - 6й + в? -1 = 0, находим t = 1, следовательно, искомая точка есть (2; —3; (J).

Замечание, Рассмотрим задачу: майтн точку пересечения прямой

= ™ и плоскости Лж + Вт/ + Сг + ?> = П.

і Ні 11 у

Решение. Записан параметрические уравнения исходной примой х = ;UQ + It, У ~ Уо Н" z ~ zq + пі н подставив х, у, z в уравнение плоскости і получим ч- Вуо + CZQ + D + t(M +тВ + пС) — 0.

Если ІА + тВ + пС Ф 0. то і находится и имеет определённое конечное значение — прямая пересекает плоскость.

Вели 1А Ч- тВ + пС = О, а Ах0 н ЗДо + О / 0, то пряная параллельна плоскости (так как ІА + тВ+пС = 0), а точка Aiiofaeh через Еіоторую проходит прямая, лежит вне плоскости (так как ЛХЦ — ВУО + D Ф О).

Если 1А + тВ +пС = О и Аги f Ву0 + 0% + D = UT то прямая параллельна плоскости (М + mfl 4- пС = 0) й проходит через точку Atfufaosї/uiЗо).

лежащую в плоскости {AXQ + В;гд) + + = О). Следовательно, прямая ися лежит в плоскости,

7. Пучок плоскостей. Пусть задана прямая как л н н и я пересечения двух плоскостей

Avx + Віу-С^ї Di = 0, Агх + В2у + + D-2 — О.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую, называется пучком плоскостей, Уравнение пуска плоскостей, проходящих через заданную прямую, можно записать в виде

a(Aix +- Biy + ?>i) -f + ¦+- C2z + D2) ^ О

или

+ Сі* - ?>l + ЦАІХ + В2У + C^Z + D2) = О,

Задача 57. Найти уравнение проекции прямой я — у 4- я -+- 1 = О, ж + g — я - 1 — 0 на плоскость х + у -f z = 0.

Решение. Первый способ. Уравнение пучка плоскостей, проходя-щих через заданную прямую, есть х — у -I- z + 1 + А(я: + # я — 1} = = 0 пли (1 + А)я + (—I +¦ А)Ї/ + (1 - А)г +- X — А = 0. Из этого пучка плоскостей нужно выбрать плоскость, которая перпендикулярна данной плоскости х + у + z =. 0. Используя условие перпендикулярности плоскостей, получки уравнение для определения А: 1* (1+А)Н- + 1 - {—1 + А) + 1' (1 — А) = 0, стсюла А = —1. Подставляя А = —1 в уравнение пучка плоскостей, находим уравнение плоскости у — ж — — 1=0, которая проектирует заданную прямую на заданную плоскость. Искоыое уравнение проекции данной прямой есть прямая, по которой

n 1 II

пересекаются плоскости у — 2—1"0и:г4-у+г=0, или —= ^ =

_ *+1 . 1

Замечание. Если прямая задана каноническими уравнениями

з - XI _ y^ yi _ ?г гУ і т п '

тогда для того, чтобы получить уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей, можно записать

{ х-хі у - уъ ( щ ff — ЇЇ z - zi І і ТІ или ( у-Ух z — Z\ т тг 1 V - Vi X — Хї L m t или С z - Л х — п I I Z - Zi _ У-Уі 1 п m

причём:

L) система уравнений m(x - Xi) = - ід) и г = 0 определяют проекцию заданной прямой на плоскость Оху;

система уравнений n(ar-^i) = i(z -zj) и у = 0 определяют проекцию заданной прямой на плоскость Oxz\

система уравнений n(y-yi) = m{z - zi) и х — 0 определяют проекцию заданной примой на плоскость Oyz.

Второй способа Чтобы получить уравнение проектирующей плоско* сти, заметим, что направляющий вектор заданной прямой а= [тііПа] = = {0; —2; —2), нормальный вектор п = {1; 1; 1} плоскости, на которую проектируется заданная прямая, и вектор М\М должны (быть компланарные) лежать а проектирующей плоскости, где А/](0; 0; —1) точка заданной прямой, а точка М(х,у^) — текущая точка искомой (проектирующей) плоскости.

Тогда, используя условие компланарности трех векторов (Л/]М[an]) — О, найдем у — г - 1 — О

Задача 58. Составить уравнения проекций прямой 2х + у 4- 8s — - 16 ~ 0, х - 2у - г -I- 2 =: 0, на плоскости Oxyt Oxz, Oyz.

Решение. Эту задачу можно решить также как и предыдущую. Из условия перпендикулярности проектирующей плоскости, принадлежащей пучку плоскостей 2д- + у 4 — 16 f А(дг - 2у - z 4- 2) ж О, и плоскости Оху (т.е. плоскости z = О) 0- (2 +\А) + 0- (1 — 2 А) + + 1 ¦ (8 — А) = 0 находим А — 8. Тогда уравнение проектирующей плоскости есть 2х — 3у — 0- Б рассматриваемой задаче уравнение проектирующей плоскости также можно получить, исключив z из заданных уравнений. Для этого второе уравнение умножим на 8 н сложим с первым уравнением. В результате имеем уравнение проектирующей плоскости. Это уравнение 2н - Ті/ = 0 вместе с уравнением z = О определяет проекцию задание* прлм^'Л ну плоскость Оху Исключив из заданных уравнений х имеем уравнение проектирующей плоскости у 4- + 2z — 4 = 0. Система уравнений у + 2z — 4™0ч х - 0 определяют проекцию заданной прямой на плоскость Oyz. Аналогично определяется проекция на плоскость Оса: х + Zz — tS = 0 и у = О

Замечания.

Если в одном из уравненийh определяющих заданную примуЕО, не содержится координата z (т.е. С\ = О или Съ = 0), то эта плоскость перпендикулярна плоскости Оа// (z = О) и является проектирующей плоскостью. Вместе с уравнением г — 0 она определяет проекцию заданной прямой на плоскость Оху, Аналогично, если в одном из уравнений не содержится х или у. Например: найти проекцию прямой А\х 4- Biy -f- C\z D-\ - 0 и А^х + C2z 4- D-2, = 0 па плоскость Oxz. Искомое уравнение проекции есть А2х 4- Ciz + Di = 0 и у ~ 0,

Если в обоих заданных уравнениях отсутствует, например zr то обе заданные плоскости и сама прямая перпендикулярны плос* кости Оху, Тогда заданная прямая проектируется на плоскость Оху в точку, координаты х а у которой находятся из заданной системы, а координата z — 0, Например:

]) Найти проекцию прямой г 4- у + 3 = 0 и з - ^ -Ь 5 = 0 на плоскость Оху„ Проекция прямой есть точка с координатами х — —4, у = 1,

2} Найти проекцию прямой у + : f 7 = 0 и у — z — 3 = 0 на плоскость Oyz, Проекция прямой есть точка с координатами х = 0, у = —2, z = -5.

3) Найти проекцию прямой а; + г - 1 0 н х - z — 3 = 0 на плоскость Oxz.

Проекция прямой есть точка с координатами х = 2, у = 0, z = -l.

Задача 59. Найти точку симметричную точке

Mt(l% 1; 2) относительно прямой

Х-2 _ у 4- 1,5 = г-1 1 1

Решение. Уравнение плоскости, проведённой через точку Afj(l; 1; 1) перпендикулярно данной прямой (п = а), есть х — 2у 44- z = О, Точка (М"а) пересечения проведённой плоскости с заданЕіой прямой (см. задачу 55) имеет координаты = 1, у = 0,5, z = О (? — —1). Координаты точки М2 находятся из соотношений (деление отрезка пополам)

+ XI yi 4- Уї Zl 4" Z2

= ¦ "2 > Ш = —^—1 — ¦—2—1

H они равны X2 = 1, У2 = 0* Z2 = — 1.

Замечания.

Точка Мз есть проекция точки Mi (или Mj) на данную прямую.

Если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, то нормальный лектор перплнднеулярнон плоскости равен [щ - п2], а координаты точки Мз сеть решение трёх уравнений с тремя неизвестными,

3. \МіМз\ = т/(хг -х3)2 + (j/i -де}2 Н- (її - = V5/2 — длина перпендикуляра, опущенного изданной точки (Мі) на данную прямую, или, что то же самое — расстояние точки до прямой.

ft — Лі у — ill Z — Z\ х— 1 у— 1 1

А - -¦ —— - ИЛИ —-— := -- ¦= — уравне-

' хз - жі уз - у і гз о 0,5 1

ние перпендикуляра ш данной точки (Мі) на данную прямую.

Задача 60. Найти расстояние между параллельными прямыми

х-2 _ у+ 1 __ f х - 7 __ _ z-Ъ З А ~ 2' 3 4 ~ 2

Решение. Проведём перпендикулярную плоскость (п — а^) через точку Mi(2; —ЇЇ 0), взятую НЕ первой прямой. Её уравнение есть 3(а: — 2) + + 1) + 2z = 0 или Зх + 4у -f 2г — 2 =s 0. Найдем точку пересечения проведенной плоскости со второй прямой (см. задачу 56), се координаты есть х2 — 4, уъ - -3, = 1 = -1). Расстояние между прямыми равно (см. также §53, п. 4, задача 32)

ММ = + рї + Зр V 1 = 3.

Задача 61. Найти точку Л/2(0:2, У2, -2)1 симметричную точке 0; 1) относительно плоскости Ах 4- <5у + \z — 25 = 0.

Решение. Проведем прямую перпендикулярно данной плоскости (а = 11) через точку ЛіГ|(1; 0; 1)

г. — I у Z — 1 ИЛИ —-— = ? — .

2 3 2

Точка пересечения проведённой прямой и данной плоскости (см. задачу 56) есть Мд (2; 3/2; 2). Координаты искомой точки находятся из соотношений, приведённых в задаче 59 и они равны гц ~ =

Замечания.

Точка Л/д есть проекция точки Мі на заданную плоскость.

[МіЛ/^І — vTr/2 — расстояние точки А/г до заданной плоскости.

Урапненне проведённой прямой есть уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Мі на заданную плоскость.

Задача 62- Составить уравнение плоскости:

перпендикулярной вектору п(Лт?,С);

проходящую через точку

Решение. I) Для составления уравнения плоскости нужен нормальный вектор п{Л, 2Э,С) и координаты точки, через которую проходит плоскость. Так как в условий задачи не заданы координаты точки, то можно взять любую точку, например А/о{0; Of 0), Тогда уравнение искомой плоскости есть Ах 4- By Cz = 0.

2) В этом случае можно взять любой ненулевой вектор ц(А>і?>С), тогда уравнение искомой плоскости есть: — гггП + В(у — t/a] 4-

+ c(zL to) и ю. Мления PDF-версия с лз4 я MirKnig.com

Задача 63. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(2; —2; 1) и прямую я 1 + 2і, у = 2 - z — — 3 + 2t.

Решение. Первый способ. Составим пучок плоскостей, проходящих через заданную прямую. Для этого перейдем от параметрических уравнений прямой к каноническим уравнениям и, учитывая замечание к задаче 57, получим Зх + 2у — 7 -J- A{z ~ z - 4) = 0. Найдём уравнение плоскости, которая принадлежит пучку и ппоходит через точку Мо(2; —2; i}f для этого в уравнение пучка подставим координаты точки Ми при этом Л = --. Подставляя найденное значение,

в уравнение пучка, получим уравнение искомой плоскости Ах + б^ + bz - 1 - 0.

Второй способ. Точка M{x^z) будет принадлежать искомой плоскости, если три вектора а ~ {2: -3; 2} — направляющий дектор за-

ДЭЕЖОЙ прямой, вектор МіМ — {Г— 1; у — 2,^ + 3} и вектор M\Mq — = {]; - 4; 4} будут компланарными. Используя условие компланарности трёх векторов (MjMufa - —0, получим уравнение искомой плоскости.

Задача 64, При ка ких значения х В и D прямая х — 2у — z — & = = 0, + By + z -j-D = 0 лежит в плоскости Оху>

Решение. Если данная прямая лежит в плоскости Оху, то она пересекает ось Ох 5 неЕсоторой точке (хо; 0; 0), а ось Оу в точ^ (0; Уоі О)- Подставляя координаты этнх точек а уравнение заданной прямой, находим В = D — —27-

Задача 65. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям Зя 4- \2у -- 3z — 5 = 0, За: — Ay Н- 9z + -[- 7 — 0 и пересекает прямые

s + 5 _ 8 _ z 4- 1 х -3 _ у л-1 _ 2 —4 ~~ 3 1 -2 3 4 "

Решение, Пусть направляющий вектор искомой прямой есть а = — {/; т; /г). Так как искомая прямая параллельна двум плоскостям, то (зги) 12т)і ~ Зп = 0 .и (апд) = 3? ~ 4т + 9гг = 0, где пі

и к? — нормальные вектора заданных плоскостей. Таким образом, имеем систему двух уравнений для определения направляющего вектора искомой прямой

'61 -f 12m - 3п =0, З і - 4rn + 9н = О

или

а+ 40- 1 = 0, За - Aj3 -Ь 9 = О, где а - -t 0 = — (а I — an, т — 0п).

п п з

Отсюда находим а — —2, 0 — -. С л е до з а тел ь но, за направляющий

вектор искомой прямой можно ваять вектор а^ — 2; ^;

Если прямые пересекается (а по условию задачи они пересекаются). то они лель в од д1 пл ооости. Составим у^ияие плоско 135

сти, в которой лежат первая прямая с направляющим вектором а] — — {2; —4; 3} и искомая прямая. Уравнение этой плоскости (см. задачу 63) можно записать в виде (Ш^аоаі]) — О или 25,т + 32у + 2bz 4 + 55 — 0. где M(x>y>z) — текущая точка, JIJI(—5; 3; —1) — точка лежит на первой заданной прямой. Аналогично для второй плоскости,

а которой лежат вторая заданная прямая и искомая: {Л/А/^аоаг]) =¦ = 0 или 4у — 3z4 10 — 0. Эти дле найденные плоскости, пересекаясь, определяют искомую прямую, её канонические уравнеЕіия имеют вид (см. задачу 55) , Ш _ ^

8 -3 -4

Задача 66. Найти уравнение сферы, центр которой лежит на прямой 2х -і- 4у — z — 7 = 0, 4:е + 5у 4 z — 14 = О и которая касается плоскостей х +2у — 2г — 2 = 0 и х + 2у — 2z 4 4 = 0.

Решение. Расстояние центра сферы Mof^o.^ot 2с) ДО первой плоскости равно

d — j Xf> Л-2уа — Zzg — 2 ]

!

до второй плоскости

, I То + 2уь - 4 \ \

—3 1

Так как R — d] - ds, то имеем го + 2— 2Zq + 1 = 0, Таким образом, для определения координат центра сферы получаем систему уравнений

' 4 2уо + 0,

2хо + 4jt/0 - z0 - 7 = 0,

4j*0 + 4- ZQ — 14 - Он

Решение этой системы ес/ь

Ai —fl . Да 27 ч Дз 27 _

тогда R — di ~ 1. Следовательно, искомое уравнение сферы есть

Задача 67. Найти уравнение диаметра сферы х2 4 у2 4 z2 — 2х — — бу-Нз — 11=0, перпендикулярного плоскости 5л: — у -І- 2z — 17 1= 0. Решение, Уравнение сферы представим в следующем виде

(*-!)* +(У-S)2 + (* + i)S = f,

отсюда находим координаты центра сферы Мр 3; — ^ Так как

прямая, на которой лежит диаметр сферы, перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор этой прямой колли неарный нормальномэ Віктору з-данннй тлоскости. За іаправляящии вектор искомой прямой возьмём нормальный вектор заданной плоскости п — = а = {5; —1; 2}. Тогда уравнение искомой прямой есть

а? - 1 _ _ t±Sl!l1

5 -l " 2

Задача 68. Даны уравнения сферы х2 + = 27 н плоскости x + y+z - 12 - 0.

Найти на плоскости точку, ближайшую к сфере, и вычислить расстояние от этой точки до сферы.

На сфере найти точки, наиболее и наименее удалённые от плоскости, н вычислить расстояние этих точеі< до плоскости.

Решение. Проведём прямую через центр сферы 0; О) перпендикулярно заданной плоскости (а = п = (1; 1; 1)): у = у = р тогда параметрические уравнения проведённой прямой есть х — t, у — =t і, z = t. Точка пересечения плоскости и примой Л/; (4; 4; 4) (і = = 4, см. задачу 56), а точки пересечения проведенной примой и сферы есть М2 и Xі + у2 +z2 = З/,2 = 27, L = ±3, тогда М2('і; 3; 3), а Мэ(-3; —3; —3) Из геометрических соображений точка М2{3; 3; 3) наименее, а точка Л/^(— 3; —3; —3) наиболее удалённые точки от плоскости. а точка Mi(4; 4; 4) ближайшая точка плоскости к сфере, причём

MiM2 — V3, М:МЛ = 7>/3-

З а д а ч а 69, На сфере (д: - 2)'2 + (у -{- S}3 + (z - 4)2 = 25 на нти точку, ближайшую к плоскости Зх — 4z + 20 = 0, и вычислить расстояние от этой точки до плоскости,

Решение. Проведём через центр сферы MQ(2; — S; 4) прямую перпендикулярно плоскости а = и = (3; 0; —4)

= ?±А = „ли а. = Si + 2, у = -а, г - -4* -Є 4.

0і J ji1

Найдем точки пересечений проведённой прямой и сферы

(31 + 2 ~ 2)г + (-8 + 8)г + (—4i -f 4 — 4)3 25, t7 = I, t = ± 1,

тогда имеем Mj(5; —S; 0) и 2; -8; 8). Точка пересечения

проведённой прямой и ^тлоскости (см. задачу 56) имеет координаты

= у3 = — g, z% = —, причём M\Mz ~ 7„ а ЛЇ2М3 —¦ 3. Следовательно, искомая точка есть M^-L; —8; Й). а искомое расстояние равно М2М3 = 3. .

3 -7П VK * + 7 V+* г + 3

Задача 70. Убедившись» что прямые - ¦ ¦ = - — ^ ..

21 ji 4. 5 ^ 2

— ¦= ? = скрещивающиеся, найти расстояние между нн-

о —4 —1

ми и написать уравнение общего перпендикуляра к этим прямым.

Решение. Так как направляющие векторы прямых aj — (3; 4; —2)

н aj = (G; —4; —1) не коллинеарны, то прямые не параллельны.

Составляем смешанное произведение векторов Л — (JWiAf^ajaa])ч где Mi(—7; —4; —3) точка} лежащая на одной прямой, М2(21; —5; 2) точка, лежащля на доугойпрттЄ, Так ао У с .^se Ф О, те исходные

] 38 Анплитическая геометрия и элементы векторной алгебры [ Гл. Н

прямые не лежат в одной плоскости, а значит не пересекаются, Следовательно, заданные прямые скрещивающиеся

Проведём плоскость через первую прямую параллельно другой прямой: точка Mi лежит на первой прямой и, следовательно, принадлежит искомой плоскости, В качестве нормалы-юго вектора к этой плоскости возьмём вектор п {аі.«аї = -Зби 4- 3j 4~ 12k), тогда уравнение искомой плоскости 4(fc 4- 7) 4 3(у 4 4) 4 12{z 4 3) — 0 или Лх 4 Зу + 12z + .f. уз _ Q Искомое расстояние равно расстоянию любой точки второй прямой до проведённой плоскости, а том числе и точки Лі,

21 -3-54- 12 -2 + 7G

d =

= 13,

л/41 + 3*~Г 122

Для того, чтобы написать уравнение общего перпендикуляра, найдём уравнения двух плоскостей, проходящих через исходные прямые и перпендикулярные плоскости Ах 4 Зу 4 12г 4- 76 = 0.

nL = = —54І 4 44j + 7k, Mi(-7; -4; -3), тогда -54(:с 4 714 44(у 4 4) + 7{z 4-3) = 0 или 54л - 44у - 7z 4 181 = 0.

= [папJ = 4Gi 4-7Gj -34k, Л/2(21і -5; 2), тогда АЪ{х - 21) + + 7G{у 4 5) - 34(z - 2) = 0 или 45х 4 76у - Щ - 497 = 0.

Уравнение искомого перпендикуляра есть

54а; - 44у - 7z 4-181 - 0, 45а; + 76^ - 34z - 497 О,

Задача 71 На плоскости Зх 4- — 6л - 2 = О найти та ку ю точ ку i/i, zy)t чтобы вектор OMi составлял с осями координат равные

углы.

Решеигіе. Так как направляющие косинусы вектора ОМі равны cos а = cos /? cos 7, та подставляя в исходное уравнение плоскости Х\ = у\ = получим XI = У1 ~2.

Задача 72. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярно плоскостям А\Х + В\уC\ZDi =0, Л2х + В2у 4 Ciz 4 О? — 0.

Решение. За нормальный вектор искомой плоскости можно ВЗЯТЬ вектор Л — |пЩ!], где 111 — n3 = [АйіВіїОі)* ТО"

гда вектор, лежащий в искомой плоскости, а — (аг — Хо,у — уо? г — — :0) = где M{x,y,z) — текущая точка искомой плоскости,

а Л/а (ги, — 0; 0) — начало координат. Учитывая, что ain,

« 0.

х у Z

Вх Сх Л2 В2 Сг

Дополнения. I. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Уравнения прямых

J ~ _ У\ __ z — х - xz у — уз _ д_а

h TJ Ы о дія ОО с "МіТ^'НГ PDF-версия с 138 н MirKnig.com

уравнение искомой плоскости есть (an) = 0 или

Две прямые будут принадлежать к одной плоскости, если три вектора А/іМз — (яз - у2- уі,2% - zі), ai — и el^ — (йз,пга,па)

будут компланарны, т.е. {МіМ2?аіаз]) = 0- Это и есть искомое условие.

Условие принадлежности прямой

Я — = у - fflg __ 2 - 2fl I Ttt ТІ

к плоскости Ах By + Cz~\- D = 0.

Точка MQ(;E0i лежит на плоскости, если Axq + Ву0 + Oz0 +

+ D — О, и _L а, тогда (а п) = 0, Итак, искомое условие есть:

+ Вуа + Czq 4D = О, AI + Він + Си — О.

(см. также замечание к задаче 56).

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной плоскости By -Ь Сг+ D = 0. Искомое уравнение прямой имеет вид

х — х ? _ у ~Уо _ z ~ zg

А в сГ~5

так как направляющим вектором прямой а служит нормальный вектор данной плоскости и = (А,В,С).

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0{хо}уо, и перпендикулярной заданной прямой

X — J-Q _ у - ус _ ? - До і m n

Искомое уравнение плоскости есть;

- Хо) + тп(т/ - уо) + "(z - *<>) = О,

так как п = а =

Уравнение ПЛОСКОСТИ, проходящей через точку Adi(xiiyi1Zi) и параллельно заданной плоскости Ах + By -f Cz + D 0. Искомое уравнение плоскости есть A(z — яі) + В(у — уО 4- C'(z — zi) = 0Т так как нормальный вектор искомой плоскости является также нормальным вектором данной плоскости.

6 Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую

X - хр _ у - ,j/o _ 2 - za

і т її

и через заданную не лежащую на этой прямой точку A/^a^S/b^i) Искомая плоскость: А(х - дп) + — i/i) + C[z - =0, Координаты нормального вектора плоскости Л, В, и С находятся из условия принадлежности данной прямой к искомой плоскости

А(хг - х0) + В(уL - у0) + C(zt - го) ^ 0, At + Вт + Сп = 0.

Первое равенства означает, что точка М&, через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе равенство есть условие па-раллельности прямой и пглоскост н.

] Л О Аналитическая геометрия и элементы векторной алгебры L,

7. Уравнение плоскости, проходящей через данную пряную

Д -JEJ, _ у —уі _ z - І і mi щ

и параллельно другой данной прямой.

Искомая плоскость Лх + Ву + Cz + D я 0. Используя услоние принадлежности Прямой к ИСКОМОЙ ПЛОСКОСТИ, WFOFTCM

Ati + Ви\ + Czi + D - 0, Ak H- Bmx + Сп± 0.

Кроме того, используя условно параллельности искомой ПЛОСЕСОСТИ и н.орой прямой АІ2 + Вт-2 -\-Сщ ^ 0 можно выразить из этих трех уравнений коэффициенты Л, В, С через четвёртый D. Например, положив о = A/D, Р = B/D, 7 = C/D, тогда имеем систему тРёх уравнений стремя неизвестными /?, 7:0^1 ±0уі + yzi + 1« О, Geh + + + 7«i — О, Ы2 + +7112 - 0. а искомая плоскость имеет онд t\x +¦ fhj -f- *уй + 1 = 0Ї

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 10, Прямая линия в пространстве:

  1. 2.3. Действие уголовного закона во времени и в пространстве
  2. СИМВОЛИКА КАРТИНЫ МИРА И ПРОБЛЕМА ПРОСТРАНСТВА
  3. § 10, Прямая линия в пространстве
  4.   § 12. Пространство и время  
  5.   ПРОСТРАНСТВО  
  6. Идея и понятие пространства (%ыда)
  7. 8. А. Н. и М. Н. ЧЕРНЫШЕВСКИМ [8 марта 1878.J
  8. 9. Пространства и размерности
  9. Глава IИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР УЧЕНИЙ О ДЕЙСТВИИ УГОЛОВНЫХ ЗАКОНОВ В ПРОСТРАНСТВЕ
  10. 3.6. Способы и средства выражения категории пространства в топонимии
  11. 1.7. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка.
  12. Общие уравнения прямой в пространстве.
  13. Кривизна пространственной кривой.
  14. Тема 7. Прямые линии и плоскости.
  15. Геометрия как наука о пространстве.
  16. 3.1. Контекст повседневного пространства: морфология и семиотика
  17. § 2.5. Использование пространственного ГИС-анализа.
  18. Создание Новоишимской (Горькой) линии как условие колонизации северного региона Казахстана
  19. Строительство Новой линии в 1830-х годы
  20. § 11. Связь пространства и времени с информацией