Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство. Линейные операторы.
Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из чисел:
и обозначают
.


Векторы и
называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны:
,
.
Суммой векторов и
одной размерности, называют вектор
той же размерности, для которого:
,
.
Произведением вектора на число
называют вектор
той же размерности, для которого:
,
.
Линейной комбинацией векторов и
одной размерности, называют вектор
той же размерности (
и
- произвольные числа), для которого:
,
.
Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторным пространством и обозначают
.
Систему векторов называют линейно зависимой, если найдутся числа
,
одновременно, такие, что
(где
- нулевой вектор), в противном случае, систему называют линейно независимой.
Базисом системы векторов называют упорядоченную систему векторов
, удовлетворяющую условиям:
1) ,
; 2) система
линейно независима; 3) для любого вектора
найдутся числа
такие, что
. Коэффициенты
, однозначно определяемые вектором
, называют координатами вектора в базисе
, а формулу называют разложением вектора
по базису
и пишут:
.
В пространстве базисом является каждая упорядоченная система из
линейно независимых векторов:
. Формулу
называют разложением вектора
по базису
, коэффициенты
- координатами вектора в базисе
и пишут
.
Всякая упорядоченная система из векторов
образует базис
, если определитель, столбцами которого являются компоненты векторов
, не равен нулю.
Пространство , в котором введено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определённым требованиям (аксиомам), называют евклидовым.
Скалярным произведением двух векторов и
называют число:
.
Два вектора и
называют ортогональными, если
.
Базис
-мерного евклидова пространства называют ортогональным, если
при
. В разложении вектора
по базису
:
, числа
называемые координатами вектора
в ортогональном базисе
, определяют по формулам:
, (
).
Оператором называется закон (правило), по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор
, и пишут
или
В дальнейшем, рассматривается случай
(преобразование пространства
). Оператор
называется линейным, если для любых векторов
и действительных чисел
выполнено условие:
.
Если - базис пространства
, то матрицей линейного оператора
в базисе
называется квадратная матрица
порядка
, столбцами которой являются столбцы координат векторов
. Между линейными операторами, действующими в
и квадратными матрицами порядка
, существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор
представить в матричном виде
, где
- матрицы-столбцы координат векторов
,
- матрица оператора
в базисе
.
Для линейных операторов, действующих в вводятся следующие операции: 1) сложение операторов:
; 2) умножение операторов на число:
; 3) умножение операторов:
.
Обратным к оператору называется оператор
такой, что
, где
- единичный (тождественный) оператор, реализующий отображение
. Обратный оператор
существует только для невырожденных операторов
(операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.
Пусть число и вектор
,
, таковы, что выполняются
равенства: или
. Тогда число
называется собственным числом линейного оператора
(или матрицы
), а вектор
- собственным вектором этого оператора (или матрицы), соответствующим собственному числу
. Равенство
может быть записано в виде
, где
- единичная матрица порядка
,
- матрица-столбец координат собственного вектора
, соответствующего собственному числу
,
- нулевая матрица-столбец.
Характеристическим уравнением оператора (или матрицы
) называется уравнение:
.
Множество собственных чисел оператора (или матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу
, совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения:
.