5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.

Рассмотрим сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство H, и пусть – полная ортонормальная система векторов в этом пространстве.

Как было показано в п.45 гл.56, ряд сходится, и, следовательно, последовательность можно рассматривать как некоторый элемент гильбертова пространства . Таким образом, каждому элементу соответствует некоторый элемент , причём в силу условия полноты системы

. (1)

Далее очевидно, что если соответствует и соответствует , то и x соответствует и l, где l – вещественное число.

. (2)

Пусть теперь – произвольный элемент из . Рассмотрим в H элементы , . Имеем , и потому при .

Таким образом, последовательность фундаментальна. В силу полноты H она сходится в смысле метрики пространства H к некоторому элементу этого пространства. Так как , то коэффициенты Фурье элемента z по ортонормальной системе есть числа . Таким образом, каждый элемент соответствует некоторому элементу . Тем самым, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространств H и . Формула (2) показывает, что это соответствие между H и .является изометрией.

Теорема 9. Всякое (вещественное) сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изометрично и изоморфно (вещественному) пространству и, следовательно, все вещественные сепарабельные гильбертовы пространства изометричны и изоморфны между собой.

Следствие. Вещественные пространства и изометричны и изоморфны.

Найдём общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве H два элемента, x и y, и скалярное произведение этих элементов . Если мы зафиксируем вектор y и будем менять вектор x, то получим некоторый функционал , определённый на H: .

Из аддитивности и непрерывности скалярного произведения следует, что – линейный функционал в H. Выбирая различные , мы будем получать различные линейные функционалы . Покажем, что таким образом мы получим все линейные функционалы.

Теорема 10 (Рисса-Фишера). Всякий линейный функционал , определённый на гильбертовом пространстве H, имеет вид

, (3)

где элемент однозначно определяется функционалом f.

Доказательство. Рассмотрим подпространство , определяемое уравнением (ядро функционала). Замкнутость N следует из непрерывности функционала .

Если , т. е. тождественно равен нулю, мы можем написать , и в этом случае равенство (3) доказано.

Пусть теперь ; возьмём , и обозначим через проекцию элемента на ортогональное дополнение М подпространства N. Пусть . (ясно, что a ? 0). Тогда, полагая , будем иметь .

Возьмём любой элемент , и пусть . Имеем , откуда , т.

, (4)

т. е. H есть ортогональная сумма подпространства N и одномерного подпространства M, порождаемого элементом . Из равенства (4), умножая скалярно на , получаем (y₁ÎN^{^} = M, z ÎN), или

.

Обозначая через , будем иметь , и равенство (3) доказано.

Если, теперь при всех верно равенство для некоторого другого элемента , то или при любом . В частности полагая , получим , т.

Из неравенства Коши-Буняковского при , получим , поэтому и

. (5)

С другой стороны, если , то мы будем иметь

,

и так как , то

. (6)

Из сравнения (5) и (6) следует, что , и теорема полностью доказана.

Как частные случаи этой теоремы, получаем

а) Всякий линейный функционал в L₂[a, b] имеет вид

,

где также принадлежит L₂[a, b], причём

.

б) Всякий линейный функционал в имеет вид

,

где , причём .