Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Пусть Х, Y - линейные нормированные пространства. Отображение А: Х®Y называется линейным (синоним: линейным оператором), если А(х1+х2) = А(х1) + А(х2), А(lх) = lА(х).
Линейный оператор А называется изоморфизмом, если у него существует обратный и отображения А и А-1 непрерывные. Пространства Х, Y называются изоморфными, если существует изоморфизм А: Х®Y.Очевидно, что отношение изоморфизма линейных нормированных пространств является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Изоморфизм сохраняет замкнутость и открытость множеств как взаимно непрерывное отображение и компактность. В общем случае при непрерывных отображениях не сохраняется ограниченность множеств (например, функция 1/x переводит ограниченное множество (0,1] в неограниченное [1,¥)).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 14. Если А: Х®Y линейное непрерывное отображение и МÌХ – ограниченное множество, то множество А(М) также ограниченное.
ТЕОРЕМА 7. Любые два n – мерных линейных нормированных пространства изоморфны.
Из этой теоремы вытекают важные следствия. Поскольку пространство 
полное, то в силу изоморфизма (он сохраняет сходимость) этим свойством обладает и всякое конечномерное линейное нормированное пространство. А отсюда следует, что конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве является замкнутым, т. е. подпространством. Для бесконечномерных многообразий это не так.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Метрические пространства Х, Y называются изометричными, если существует биективное отображение f: Х®Y, сохраняющее расстояния, т.е. такое, что r(x,y) = r(f(x), f(y)) (изометрия). Линейные нормированные пространства называются изометричными, если существует изоморфизм линейных пространств, сохраняющий нормы векторов (а тогда и расстояния). Такой изоморфизм называется изометрией.
Заключение теоремы 6 при замене изоморфизма на изометрию не выполняется. Например, пространства 
не изометричны при различных р.
Еще по теме Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства:
- 1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства
- 1.2.1. Определение. Линейное пространство называется нормированным пространством,
- 1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.
- Линейные нормированные пространства
- Компактность в линейных нормированных пространствах
- 1.2.2. Определение. Расстоянием между элементами x,y нормированного пространства L называется
- Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство. Линейные операторы.
- 5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- Линейное (векторное) пространство.
- Свойства линейных пространств.