Компактность в линейных нормированных пространствах

Уже было показано, что в пространствах любое замкнутое ограниченное множество является компактным.

ТЕОРЕМА 8. Для того чтобы линейное нормированное пространство являлось локально компактным, необходима и достаточна его конечномерность.

В следующих двух теоремах устанавливается, что надо добавить к замкнутости и ограниченности в некоторых бесконечномерных пространствах, чтобы обеспечить компактность множеств.

Пространство С.

Напомним известное из математического анализа определение равномерной непрерывности функции. Функция х(t), определенная на числовом множестве U, называется равномерно непрерывной, если "e>0 $d>0 "t₁, t₂ÎU çt₁-t₂ç 0 годится одно и то же число d > 0, то множество М называется равностепенно равномерно непрерывным. Более формально множество функций М Ì С называется равностепенно равномерно непрерывным, если "e>0 $d>0 "xÎМ "t₁, t₂Î[0,1] çt₁-t₂ç < d ® çx(t₁)- x(t₂)ç0 $N "xÎМ e.