Компактные метрические пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Метрическое пространство Х называется компактным, если из всякой последовательности в Х можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Компактное подпространство метрического пространства будем называть также компактным множеством.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8. Компактное пространство является ограниченным.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9. Компактное подпространство Y метрического пространства Х является замкнутым.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы подпространство Y пространства было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

В других пространствах это утверждение неверно. Так, в дискретном пространстве компактные множества только одноточечные, хотя все подпространства замкнутые и ограниченные. В пространстве т множество векторов, описанное в примере п. 3.3, также замкнутое и ограниченное, но не компактное.

ТЕОРЕМА 4 (Кантор). Любая вложенная последовательность компактных подмножеств в метрическом пространстве имеет непустое пересечение.

ТЕОРЕМА 5. Образ компактного метрического пространства X при непрерывном отображении является компактным.

Важный частный случай. Если f:X®R – непрерывное отображение компактного пространства в множество вещественных чисел, то образ f(X) компактен. Но любое компактное подмножество прямой является замкнутым и ограниченным (теорема Больцано-Вейерштрасса). Следовательно, вещественная непрерывная функция, определенная на компактном метрическом пространстве, имеет наибольшее и наименьшее значения – обобщение теоремы Вейерштрасса из математического анализа.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Прообраз компактного множества при непрерывном отображении может не быть компактным. Например, функция sin(x) отображает некомпактное пространство (-¥,¥) на компактное [-1,1].

2. В теореме компактность нельзя заменить полнотой. Например, функция отображает полное пространство [1, ¥) на неполное (0, 1].

Поясним связь между понятиями замкнутости, полноты и компактности.

1. Замкнутость является свойством внешним, т.е. предполагается наличие объемлющего метрического пространства. Любое метрическое пространство является собственным замкнутым подмножеством. Компактность и полнота являются внутренними свойствами метрических пространств.

2. Из компактности следует полнота, обратное неверно. Пример - пространство R.

3. В то же время, полное подпространство является замкнутым.