<<
>>

Компактные метрические пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Метрическое пространство Х называется компактным, если из всякой последовательности в Х можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Компактное подпространство метрического пространства будем называть также компактным множеством.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8. Компактное пространство является ограниченным.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9. Компактное подпространство Y метрического пространства Х является замкнутым.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы подпространство Y пространства было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

В других пространствах это утверждение неверно. Так, в дискретном пространстве компактные множества только одноточечные, хотя все подпространства замкнутые и ограниченные. В пространстве т множество векторов, описанное в примере п. 3.3, также замкнутое и ограниченное, но не компактное.

ТЕОРЕМА 4 (Кантор). Любая вложенная последовательность компактных подмножеств в метрическом пространстве имеет непустое пересечение.

ТЕОРЕМА 5. Образ компактного метрического пространства X при непрерывном отображении является компактным.

Важный частный случай. Если f:X®R – непрерывное отображение компактного пространства в множество вещественных чисел, то образ f(X) компактен. Но любое компактное подмножество прямой является замкнутым и ограниченным (теорема Больцано-Вейерштрасса). Следовательно, вещественная непрерывная функция, определенная на компактном метрическом пространстве, имеет наибольшее и наименьшее значения – обобщение теоремы Вейерштрасса из математического анализа.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Прообраз компактного множества при непрерывном отображении может не быть компактным. Например, функция sin(x) отображает некомпактное пространство (-¥,¥) на компактное [-1,1].

2. В теореме компактность нельзя заменить полнотой. Например, функция отображает полное пространство [1, ¥) на неполное (0, 1].

Поясним связь между понятиями замкнутости, полноты и компактности.

1. Замкнутость является свойством внешним, т.е. предполагается наличие объемлющего метрического пространства. Любое метрическое пространство является собственным замкнутым подмножеством. Компактность и полнота являются внутренними свойствами метрических пространств.

2. Из компактности следует полнота, обратное неверно. Пример - пространство R.

3. В то же время, полное подпространство является замкнутым.

<< | >>
Источник: Шпаргалка по курсу Функциональный анализ. 2017

Еще по теме Компактные метрические пространства:

  1. Фиксация хода и результатов, подведение итогов и составление протокола осмотра места происшествия.
  2. ЯЗЫК НАУКИ
  3. Содержание дисциплины
  4. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  5. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  6. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  7. СЛОВАРЬ1
  8. Классификация субфонем.
  9. Глава 2 ВРОЖДЕННАЯ ГЛАУКОМА: СОВРЕМЕННЫЙ ВЗГЛЯД НА ПАТОГЕНЕЗ И ЛЕЧЕНИЕ
  10. § 9. Сходимость по распределению.
  11. Компактные метрические пространства
  12. Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
  13. 4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
  14. 5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела
  15. 7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
  16. 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
  17. 1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства
  18. ПЛАНИРОВКА ГОРОДОВ
  19. к