2. Теорема о пополнении метрического пространства
Если метрическое пространство не является полным, то существует его пополнение. Для введения этого пополнения приведем еще ряд определений. Пусть существует два метрических пространства (X, d), (Y, p) и f – биекция X на Y.
Определение 5. Биекция f называется изометрическим изоморфизмом, если p(f(x), f(y)) = d(x, y).
Два метрических пространства изометрически изоморфные друг другу отождествляются.
Например, пространства C[0, 1] и C[0, 2] непрерывных функций на отрезках [0, 1] и [0, 2] соответственно являются изометричными. Изометрический изоморфизм между их элементами можно установить по формуле
C[0, 1]
x(t)
y(t)=x(
)
C[0, 2].
Определение 6. Пусть (X, d) - метрическое пространство и Y Ì X. Множество Y называется всюду плотным в Х, если для "e>0, "xÎX $ yÎY: d(x, y) 0 $N: "n, m ? N d(xn, xm) < e/2 и d(yn, ym) < e/2. Обозначим через an = d(xn, yn). Из полученных выше неравенств вытекает, что при " e > 0 $N: "n, m ? N имеем |an - am| < e и следовательно последовательность an фундаментальная, т. е. существует предел этой числовой последовательности. Таким образом, нужный предел существует и метрика r ([xn], [yn]) = 
d(xn, yn) определена.
2) Докажем, что это определение не зависит от выбора представителя класса эквивалентности. Пусть {xn}, {x*n}Î[xn], {yn}, {y*n}Î[yn].
Тогда d(x*n, y*n) £ d(x*n, xn) + d(xn, yn) + d(yn, y*n). В силу определения классов эквивалентности имеем
d(x*n, xn) = 0 и d(y*n, yn) = 0. Следовательно, d(x*n, y*n) £ d(xn, yn). Последнее неравенство было установлено для произвольных представителей класса эквивалентности. Тогда поменяв местами xn и x*n, yn и y*n, получим противоположное неравенство. Итак, d(x*n, y*n) = d(xn, yn). 3) Аксиомы метрики легко доказываются при помощи предельного перехода.
Таким образом, мы установили, что (Y, p) - метрическое пространство. Докажем, что оно полно. Пусть {[xn](m)} - фундаментальная последовательность в Y. Надо доказать, что [xn](m) ® [xn](0) Î Y. Пусть {xn(m)}Î[xn](m) . Так как для любого m последовательности {xn(m)} фундаментальны, то для "р $ kp: "n ? kр
d(xn(р) , 
) < 1/р. (1)
Построим последовательность {
}.
d(,
) £ d(, xm(p)) + d(xm(p), xm(n)) + d(xm(n), ).
В силу неравенства (1) за счет выбора m, kp, kn можно первое и третье слагаемое в правой части этого неравенства сделать меньше любого наперед заданного числа. Так как {[xn](m)} – фундаментальная последовательность, то справедливо 
r([xk](m), [xk](n)) = 0. Из определения метрики r на Y r ([xk](m), [xk](n)) = 
d(xk(m), хk(n)) вытекает, что и второе слагаемое можно сделать меньше любого наперед заданного числа. Таким образом, последовательность {} фундаментальна в Х. Обозначим класс ее эквивалентности через [xn](0). Покажем, что [xk](m) ® [xn](0). Очевидно, имеем r ([xn](0), [xk](m)) = 
d(
, xp(m)) £ d(,
) + 
d(, xp(m)) < d(,) + 1/m.
может быть сделан за счет выбора m коль угодно маленьким. Это означает, что [xk](m) ® [xn](0) в Y. Рассмотрим [xn = x] - стационарную фундаментальную последовательность, xÎX, порождающую класс эквивалентности [х]. Обозначим через Y0 - множество всех классов эквивалентности стационарных последовательностей в Х. Докажем, что Y0 изометрически изоморфно X.
Пусть хÎX. Тогда этому элементу соответствует стационарная фундаментальная последовательность [х] ÎY0. Очевидно, что такое соответствие является сюрьекцией. Докажем, что это и иньекция. Пусть x ? y. Тогда
r ([x], [y]) = lim d(x, y) ? 0 ? r ([x], [y]) ? 0 ? [x] ? [y].
Таким образом, данное отображение биекция, при этом r ([х], [у]) = lim d(x, y) = d(x, y) (изометрия).
Пусть [хn]ÎY. Тогда {хn} - фундаментальная последовательность в Х, т.е. для "e>0 $ s: d(xp, xm) < e при всех p, m > s. Построим стационарную последовательность {x = xs}. Тогда [x]ÎY0 и p([x], [xk]) = 
d(xs, xk). В силу выбора s при достаточно больших k выполняется неравенство d(xs, xk) < e. Этим показана плотность Y0 в пространстве Y и доказательство теоремы завершено.