2. Теорема о пополнении метрического пространства

Если метрическое пространство не является полным, то существует его пополнение. Для введения этого пополнения приведем еще ряд определений. Пусть существует два метрических пространства (X, d), (Y, p) и f – биекция X на Y.

Определение 5. Биекция f называется изометрическим изоморфизмом, если p(f(x), f(y)) = d(x, y).

Два метрических пространства изометрически изоморфные друг другу отождествляются.

Например, пространства C[0, 1] и C[0, 2] непрерывных функций на отрезках [0, 1] и [0, 2] соответственно являются изометричными. Изометрический изоморфизм между их элементами можно установить по формуле

C[0, 1]x(t)y(t)=x()C[0, 2].

Определение 6. Пусть (X, d) - метрическое пространство и Y Ì X. Множество Y называется всюду плотным в Х, если для "e>0, "xÎX $ yÎY: d(x, y) 0 $N: "n, m ? N d(x_n, x_m) < e/2 и d(y_n, y_m) < e/2. Обозначим через a_n = d(x_n, y_n). Из полученных выше неравенств вытекает, что при " e > 0 $N: "n, m ? N имеем |a_n - a_m| < e и следовательно последовательность a_n фундаментальная, т. е. существует предел этой числовой последовательности. Таким образом, нужный предел существует и метрика r ([x_n], [y_n]) = d(x_n, y_n) определена.

2) Докажем, что это определение не зависит от выбора представителя класса эквивалентности. Пусть {x_n}, {x*_n}Î[x_n], {y_n}, {y*_n}Î[y_n].

3) Аксиомы метрики легко доказываются при помощи предельного перехода.

Таким образом, мы установили, что (Y, p) - метрическое пространство. Докажем, что оно полно. Пусть {[x_n]^(m)} - фундаментальная последовательность в Y. Надо доказать, что [x_n]^(m) ® [x_n]⁽⁰⁾ Î Y. Пусть {x_n^(m)}Î[x_n]^(m) . Так как для любого m последовательности {x_n^(m)} фундаментальны, то для "р $ k_p: "n ? k_р

d(x_n^(р) , ) < 1/р. (1)

Построим последовательность {}.

d(,) £ d(, x_m^(p)) + d(x_m^(p), x_m⁽ⁿ⁾) + d(x_m⁽ⁿ⁾, ).

В силу неравенства (1) за счет выбора m, k_p, k_n можно первое и третье слагаемое в правой части этого неравенства сделать меньше любого наперед заданного числа. Так как {[x_n]^(m)} – фундаментальная последовательность, то справедливо r([x_k]^(m), [x_k]⁽ⁿ⁾) = 0. Из определения метрики r на Y r ([x_k]^(m), [x_k]⁽ⁿ⁾) = d(x_k^(m), х_k⁽ⁿ⁾) вытекает, что и второе слагаемое можно сделать меньше любого наперед заданного числа. Таким образом, последовательность {} фундаментальна в Х. Обозначим класс ее эквивалентности через [x_n]⁽⁰⁾. Покажем, что [x_k]^(m) ® [x_n]⁽⁰⁾. Очевидно, имеем r ([x_n]⁽⁰⁾, [x_k]^(m)) = d(, x_p^(m)) £ d(,) + d(, x_p^(m)) < d(,) + 1/m.

Рассмотрим [x_n = x] - стационарную фундаментальную последовательность, xÎX, порождающую класс эквивалентности [х]. Обозначим через Y₀ - множество всех классов эквивалентности стационарных последовательностей в Х. Докажем, что Y₀ изометрически изоморфно X.

Пусть хÎX. Тогда этому элементу соответствует стационарная фундаментальная последовательность [х] ÎY₀. Очевидно, что такое соответствие является сюрьекцией. Докажем, что это и иньекция. Пусть x ? y. Тогда

r ([x], [y]) = lim d(x, y) ? 0 ? r ([x], [y]) ? 0 ? [x] ? [y].

Таким образом, данное отображение биекция, при этом r ([х], [у]) = lim d(x, y) = d(x, y) (изометрия).

Пусть [х_n]ÎY. Тогда {х_n} - фундаментальная последовательность в Х, т.е. для "e>0 $ s: d(x_p, x_m) < e при всех p, m > s. Построим стационарную последовательность {x = x_s}. Тогда [x]ÎY₀ и p([x], [x_k]) = d(x_s, x_k). В силу выбора s при достаточно больших k выполняется неравенство d(x_s, x_k) < e. Этим показана плотность Y₀ в пространстве Y и доказательство теоремы завершено.