4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
Пусть (X, d) - полное метрическое пространство и M Ì X.
Определение 10. Множество М называется секвенциально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу этого множества.
Определение 11. Множество М называется относительно секвециально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить фундаментальную подпоследовательность.
С понятием секвенциально компактного множества обычно впервые студенты встречаются в курсе математического анализа, в котором устанавливается теорема Больцано-Вейерштрасса: множество М в пространстве Rn является относительно секвенциально компактным тогда и только тогда, когда оно ограничено.
В случае полного метрического пространства замыкание относительно секвенциально компактного множества является секвенциально компактным.
Теорема 4 (Хаусдорфа). Множество М относительно секвенциально компактно Û "e>0 $ конечная e-сеть, т.е. "e>0, $x1, x2,..., xnÎX: "xÎM $k(x): d(x, xk) < e или S (xk, e) E M.
Необходимость. Пусть e >0 фиксировано. Возьмем произвольное x1ÎM. Тогда либо d(x1,x) 0 $ n0: ? n0 ? d(
,
) < e. Получаем противоречие.
Достаточность. Пусть en = 1/n. Для en построим конечную en - сеть {yin}i=1m(n).
Тогда MÌ








Следствие 1. Для того чтобы множество М в полном метрическом пространстве было относительно секвенциально компактно необходимо и достаточно чтобы у него существовала компактная e-сеть.
Следствие 2. Любое секвенциально компактное множество является ограниченным.
Следствие 3. Секвенциально компактное метрическое пространство X сепарабельно.
Доказательство этих следствий не представляет особой сложности и предоставляется читателю.
Теорема 5. Для того чтобы замкнутое множество М в полном метрическом пространстве было секвенциально компактно необходимо и достаточно, чтобы оно было компактно.
Необходимость. Предположим противное: пусть {Ga} - открытое покрытие секвенциально компактного множества М, для которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Положим en = 1/n и построим конечные en - сети для М: {уk(n)}k=1m(n). Пусть n = 1. Тогда M Ì S[yi1, e1] и М =
Мi(1), где Мi(1) = S[yi1, e1]ÇМ. Так как нет конечного подпокрытия, то хотя бы одно из Мi не будет покрываться конечным числом множеств системы {Ga}. Обозначим это множество
. Как пересечение двух замкнутых множеств множество
является замкнутым и, как часть М, секвенциально компактным, при этом диаметр множества
не превосходит 2e1 (
ÌS[yi1, e1] для некоторого i).













Продолжая этот процесс, мы получим последовательность вложенных в друг друга, замкнутых компактных множеств , диаметры которых не превосходят 2en. Таким образом, мы имеем систему вложенных замкнутых множеств, причем каждое из этих множеств нельзя покрыть конечной подсистемой множеств из {Ga}. Согласно критерия полноты метрического пространства существует точка х0, которая принадлежит всем этим множествам.



Достаточность. Пусть множество М компактно. Рассмотрим систему множеств {S(x, e)}xÎM, где e>0 фиксировано. Очевидно, что È xÎM S(x, e) E M и система {S(x, e)}xÎM является открытым покрытием множества М. По условиям теоремы из этого покрытия мы можем выделить конечное подпокрытие {S(xk, e)}k=1n. Но в этом случае {xk}k=1n является конечной e-сетью множества М и множество М секвенциально компактно по критерию Хаусдорфа и в силу замкнутости.
Теорема доказана.
В n-мерном евклидовом пространстве относительная секвенциальная компактность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не компактного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
……………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n ? m) равно . Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e
0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1 < e/2. Каждой точке x = (x1, x2, ¼, xn, ...) из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из того же множества. При этом
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П компактно (как изометрически изоморфное множество ограниченному множеству в n-мерном пространстве) и следовательно является компактной e-сетью для П, так как d(x, x*)