4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
Пусть (X, d) - полное метрическое пространство и M Ì X.
Определение 10. Множество М называется секвенциально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу этого множества.
Определение 11. Множество М называется относительно секвециально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить фундаментальную подпоследовательность.
С понятием секвенциально компактного множества обычно впервые студенты встречаются в курсе математического анализа, в котором устанавливается теорема Больцано-Вейерштрасса: множество М в пространстве Rn является относительно секвенциально компактным тогда и только тогда, когда оно ограничено.
В случае полного метрического пространства замыкание относительно секвенциально компактного множества является секвенциально компактным.
Теорема 4 (Хаусдорфа). Множество М относительно секвенциально компактно Û "e>0 $ конечная e-сеть, т.е. "e>0, $x1, x2,..., xnÎX: "xÎM $k(x): d(x, xk) < e или 
S (xk, e) E M.
Необходимость. Пусть e >0 фиксировано. Возьмем произвольное x1ÎM. Тогда либо d(x1,x) 0 $ n0: 
? n0 ? d(
, 
) < e. Получаем противоречие.
Достаточность. Пусть en = 1/n. Для en построим конечную en - сеть {yin}i=1m(n).
Тогда MÌ
S[yi1, e1]. Рассмотрим произвольную последовательность {xn}ÌM. Так как последовательность бесконечная, а шаров покрывающих М (и всю последовательность) конечное число, то существует шар в котором бесконечно много элементов последовательности. Обозначим через S1 такой шар, соответствующий e1. Пусть Т1 бесконечная часть последовательности {xn}, попавшая в шар S1. Возьмем теперь n = 2. Тогда Т1 Ì M Ì 
S[yi2, e2]. Аналогично, найдется шар S2, радиуса e2 и содержащий Т2 – бесконечную часть Т1. Продолжаем этот процесс до бесконечности, получим последовательность шаров Sk радиуса ek и последовательность бесконечных вложенных в друг друга подмножеств последовательности {xn}: Т1 E Т2 E Т3 E... Так как Тk Ì Sk, то расстояние между элементами множества Тk не превосходит 2ek. Выберем теперь из множества Т1 произвольный элемент, он является членом последовательности {xn} и имеет в ней индекс n1: 
. Выберем из множества Т2 также произвольный элемент лишь налагая условие, что его индекс n2>n1: 
. Такой элемент можно выбрать, т.к. n1 конечное число, а Т2 - бесконечное множество. Продолжаем этот процесс: выбираем из Т3 элемент, налагая условие n3>n2. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим подпоследовательность {
} последовательности {xn}, обладающую тем свойством, что ÎТm, если k?m. Последнее означает, что в случае, когда 1/m < e/2 расстояние d(,
) < e. Отсюда следует, что построенная нами подпоследовательность {} является фундаментальной. Теорема доказана. Следствие 1. Для того чтобы множество М в полном метрическом пространстве было относительно секвенциально компактно необходимо и достаточно чтобы у него существовала компактная e-сеть.
Следствие 2. Любое секвенциально компактное множество является ограниченным.
Следствие 3. Секвенциально компактное метрическое пространство X сепарабельно.
Доказательство этих следствий не представляет особой сложности и предоставляется читателю.
Теорема 5. Для того чтобы замкнутое множество М в полном метрическом пространстве было секвенциально компактно необходимо и достаточно, чтобы оно было компактно.
Необходимость. Предположим противное: пусть {Ga} - открытое покрытие секвенциально компактного множества М, для которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Положим en = 1/n и построим конечные en - сети для М: {уk(n)}k=1m(n). Пусть n = 1. Тогда M Ì S[yi1, e1] и М = 
Мi(1), где Мi(1) = S[yi1, e1]ÇМ. Так как нет конечного подпокрытия, то хотя бы одно из Мi не будет покрываться конечным числом множеств системы {Ga}. Обозначим это множество 
. Как пересечение двух замкнутых множеств множество является замкнутым и, как часть М, секвенциально компактным, при этом диаметр множества не превосходит 2e1 (ÌS[yi1, e1] для некоторого i).
Ì S[yi2, e2]. Тогда = 
, где = S[yi2, e2] Ç. Так как для не существует конечного подпокрытия , то хотя бы одно из множеств также не покрывается конечным подпокрытием. Обозначим его через 
. Так же как выше, нетрудно видеть, что множество является замкнутым, секвенциально компактным, с диаметром меньше 2e2, при этом ÌÌ М. Продолжая этот процесс, мы получим последовательность вложенных в друг друга, замкнутых компактных множеств 
, диаметры которых не превосходят 2en. Таким образом, мы имеем систему вложенных замкнутых множеств, причем каждое из этих множеств нельзя покрыть конечной подсистемой множеств из {Ga}. Согласно критерия полноты метрического пространства существует точка х0, которая принадлежит всем этим множествам.
. Следовательно, уÎ S(x0, r) и Ì Sr(x0) Ì Gb и мы пришли к противоречию, что ни одно из множеств нельзя покрыть конечным числом множеств системы {Ga}. Достаточность. Пусть множество М компактно. Рассмотрим систему множеств {S(x, e)}xÎM, где e>0 фиксировано. Очевидно, что È xÎM S(x, e) E M и система {S(x, e)}xÎM является открытым покрытием множества М. По условиям теоремы из этого покрытия мы можем выделить конечное подпокрытие {S(xk, e)}k=1n. Но в этом случае {xk}k=1n является конечной e-сетью множества М и множество М секвенциально компактно по критерию Хаусдорфа и в силу замкнутости.
Теорема доказана.
В n-мерном евклидовом пространстве относительная секвенциальная компактность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную 
-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не компактного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
……………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n ? m) равно 
. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e 0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1 < e/2. Каждой точке x = (x1, x2, ¼, xn, ...) из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из того же множества. При этом
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П компактно (как изометрически изоморфное множество ограниченному множеству в n-мерном пространстве) и следовательно является компактной e-сетью для П, так как d(x, x*)