5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве

В этом параграфе мы снова обратимся к изучению свойств топологических пространств и рассмотрим операции замыкания, выделения внутренней части и границы множества и тесно связанное с этими операциями понятие предельных и граничных точек.

Пусть (Х, t) – топологическое пространство.

Опрелеление 10. Замыканием `А множества А Ì Х называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих А.

Очевидны следующие утверждения.

1. Замыкание `А – наименьшее замкнутое множество, содержащее А.

2. Если А замкнуто, то `А = А.

Замкнутое множество можно охарактеризовать через понятие предельной точки, определяемое ниже.

Определение 11. Точка х Î Х называется предельной для данного множества A Ì Х, если в каждой окрестности U(х) точки х содержится хотя бы одна точка х' Î А, отличная от х.

Пример 17. Рассмотрим в R¹ множества А = {n}, В = {1/n}, n = 1, 2,…, C = (0, 1), D = [0,1].

Множество А не имеет предельных точек, множество В имеет одну предельную точку 0, предельные точки множеств С и D заполняют весь отрезок [0, 1].

Понятие предельной точки в топологическом пространстве является, как легко видеть, обобщением понятия предельной точки в анализе. Докажем несколько полезных утверждений, связанных с понятием предельных точек.

Теорема 4. Множество А Ì Х замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Доказательство. Пусть A замкнуто, х – предельная точка А и х Ï А. Тогда х принадлежат открытому множеству О(x) = Х\А, являющемуся окрестностью точки х. Но О(x) Ç А = ? , что противоречит тому, что х – предельная точка.

Пусть А содержит все свои предельные точки. Покажем, что оно замкнуто, т. е. что его дополнение U = Х\А открыто. Для этого достаточно в силу теоремы 2 показать, что для любой точки х Î U найдется такая окрестность О(x) точки х, что О(x) Ì U.

Множество всех предельных точек множества А называют производным множеством множества А и обозначают А'. Таким образом, возникает новая операция, сопоставляющая каждому множеству А Ì Х его производное множество А'.

Теорема 5. Для любого множества А Ì Х множество А È А' замкнуто.

Доказательство. Покажем, что множество Х\(А È А') открыто. Пусть х – произвольная точка из Х\(А È А'). Тогда х не предельная точка для А, поэтому найдется такая ее открытая окрестность О(x), что О(x) Ç А = ?. Пусть х' Î О(х) – произвольная точка. Тогда О(х) окрестность точки х', причем О(x) Ç А = ?. Следовательно, х' не предельная точка для А и О(x) Ç А' = ?. Таким образом, О(x) Ì Х\(А È А'); ввиду произвольности х множество Х\(А È А') открыто, следовательно, А È А' замкнуто.

Докажем основное утверждение о структуре замыкания множества.

Теорема 6. `А = А È А' для всякого множества А, А Ì X.

Доказательство. По теореме 5 множество АÈА' замкнуто. Следовательно, по определению замыкания `А Ì АÈА'. С другой стороны, любое замкнутое множество, содержащее А, содержит все свои предельные точки (см. теорему 4) и тогда все предельные точки А, а следовательно, содержит А'. Отсюда следует, что А È А' Ì`А. Таким образом, А = А È А'.

Определение 12. Точка х Î А называется изолированной точкой множества А, если существует окрестность О(x) точки х, не содержащая точек множества А, отличных от х.

Очевидно, что точка хÎ А изолирована тогда и только тогда, когда х Î А\ А'.

Определение 13. Множество А называется дискретным, если каждая его точка изолирована.