<<
>>

Операции над множествами.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.

Обозначается С = А È В.

А

В

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А Ç В.

А С В

Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

А Ç А = А È А = А; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;

? = А; A Ç ? = ?;

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначается С = А \ В.

А В

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

Обозначается А D В.

А D В = (A \ B) È (B \ A)

A B

Определение. СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А I Е и CЕ = Е \ A.

A E

Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

A \ B I A; A \ A = ?; A \ (A \ B) = A Ç B;

A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);

(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);

A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);

(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);

A È CEA = E; A Ç CEA = ?; CEE = ?; CE? = E; CECEA = A;

CE(A È B) = CEA Ç CEB; CE(A Ç B) = CEA È CEB;

Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера – Вейна.

Из записанных выше соотношений видно, что

?= A \ В

Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна

А В А В

AÇB

Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)

Если некоторый элемент х Î А \ (В È С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

Множество (A \ B) Ç (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

Таким образом, тождество можно считать доказанным.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Операции над множествами.:

  1. Глава 4. Множества и отношения
  2. Булевы операции над вопросами
  3. Логические операции над вопросами
  4. Операции над множествами.
  5. §4. Операции над множествами
  6. §7. Декартово произведение множеств
  7. §4. Алгебра предикатов. Логические операции над предикатами
  8. Глава IV. Логические операции с понятиями
  9. Понятие операции. Особенности конкретных операций.
  10. 1.2. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна
  11. 1.6. Операции над бинарными отношениями
  12. 1.7. Алгебраические операции
  13. 2.4.3. Логические операции над предикатами
  14. 2.4.4. Кванторные операции над предикатами
  15. 1.1 Теоретико-множественные операции
  16. 1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
  17. 5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве