§4. Операции над множествами

Пусть А и В — некоторые множества.

Определение 1. Множество элементов, которые принадлежат А или В, т.е. принадлежат или А, или В, или А и В одновременно, называется объединением множеств А и В.

Объединение множеств А и В обозначают А È В.

На рис. 3. показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.

Рис. 3

Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения х Î А È В Û х Î А или х Î В.

Свойства объединения множеств

Из определения следует, что в А È А входят те же самые числа, т.е. А È А = {1, 4, 7, 9}. Значит, А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А. В частности, А È ? = А.

Операция объединения подчиняется переместительному закону:

А È В = В È А.

Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В) È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В, С.

В общем случае объединение совокупности множеств обозначается и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Операция объединения подчиняется сочетательному закону:

(А È В) È С = А È (В È С).

Определение 2. Множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В, называется пересечением множеств А и В.

Пересечение множеств А и В обозначается А Ç В. Пересечение множеств

А и В иллюстрируется на рис. 4.

Рис.

Пример 1. Пусть А = {1, 5, 7, 8}, В = {2, 5, 7, 9, 10}, тогда А Ç В = {5, 7}.

Свойства объединения множеств

Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В Ì А, то В Ç А = В. Из определения пересечения следует: А Ç В = В Ç А, т.е. операция пересечения коммутативна.

Имеет место и следующее равенство: А Ç ? = ?.

Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В) Ç С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.

Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В Ç С. В общем случае пересечение совокупности множеств (i = 1, 2, …, n) обозначается и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам ,.

Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:

1) (А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С);

2) (А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).

Пусть х Î (А È В) Ç С. Значит, х Î А È В и х Î С. Из того, что х Î А È В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х Î А или х Î В. Когда х Î А, то из того, что х Î С, следует, что х Î А Ç С.

Таким образом, любой элемент множества (А È В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х Î А Ç С или х Î В Ç С, т.е. х Î А и х Î С, или х Î В и х Î С. Отсюда получаем, что х Î С и х Î А È В, а это свидетельствует о том, что х Î (А È В) Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.

Определение 3. Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А \ В.

Согласно определению разности

х Î А \ В Û х Î А и х Ï В.

Графическое изображение разности А \ В множеств А и В показано на рисунке 5 (заштрихованная область — это А \ В).

Рис. 5

Из определения разности следует, в частности, что А \ А = ?; А \ В ? В \ А.

Определение 4. Когда множество В является подмножеством множества А, то разность А \ В называют дополнение множества В до множества А и обозначают .

Графическое изображение дополнения множества В до множества А показано на рис. 6.

Рис. 6

Дополнение множества А до универсального множества U обозначается , т.е. –– это множество, состоящее из тех и только тех элементов универсального множества, которые не входят в А.

Нетрудно заметить следующие свойства:

1) A È U = U, A Ç U = A;

2) A È = U, A Ç = ?;

3) = A (дополнение к множеству равно А);

4) , .