<<
>>

§4. Операции над множествами

Пусть А и В — некоторые множества.

Определение 1. Множество элементов, которые принадлежат А или В, т.е. принадлежат или А, или В, или А и В одновременно, называется объединением множеств А и В.

Объединение множеств А и В обозначают А È В.

На рис. 3. показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.

Рис. 3

Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения х Î А È В Û х Î А или х Î В.

Свойства объединения множеств

Из определения следует, что в А È А входят те же самые числа, т.е. А È А = {1, 4, 7, 9}. Значит, А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А. В частности, А È ? = А.

Операция объединения подчиняется переместительному закону:

А È В = В È А.

Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В) È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В, С.

В общем случае объединение совокупности множеств обозначается и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Операция объединения подчиняется сочетательному закону:

(А È В) È С = А È (В È С).

Определение 2. Множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В, называется пересечением множеств А и В.

Пересечение множеств А и В обозначается А Ç В. Пересечение множеств

А и В иллюстрируется на рис. 4.

Рис.

4

Пример 1. Пусть А = {1, 5, 7, 8}, В = {2, 5, 7, 9, 10}, тогда А Ç В = {5, 7}.

Свойства объединения множеств

Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В Ì А, то В Ç А = В. Из определения пересечения следует: А Ç В = В Ç А, т.е. операция пересечения коммутативна.

Имеет место и следующее равенство: А Ç ? = ?.

Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В) Ç С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.

Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В Ç С. В общем случае пересечение совокупности множеств (i = 1, 2, …, n) обозначается и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам ,.

Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:

1) (А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С);

2) (А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).

Пусть х Î (А È В) Ç С. Значит, х Î А È В и х Î С. Из того, что х Î А È В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х Î А или х Î В. Когда х Î А, то из того, что х Î С, следует, что х Î А Ç С.

Значит, х Î (А Ç С) È (В Ç С). Когда же х Î В, то из того, что х Î С, следует, что х Î В Ç С, но тогда х Î (А Ç С) È (В Ç С).

Таким образом, любой элемент множества (А È В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х Î А Ç С или х Î В Ç С, т.е. х Î А и х Î С, или х Î В и х Î С. Отсюда получаем, что х Î С и х Î А È В, а это свидетельствует о том, что х Î (А È В) Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.

Определение 3. Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А \ В.

Согласно определению разности

х Î А \ В Û х Î А и х Ï В.

Графическое изображение разности А \ В множеств А и В показано на рисунке 5 (заштрихованная область — это А \ В).

Рис. 5

Из определения разности следует, в частности, что А \ А = ?; А \ В ? В \ А.

Определение 4. Когда множество В является подмножеством множества А, то разность А \ В называют дополнение множества В до множества А и обозначают .

Графическое изображение дополнения множества В до множества А показано на рис. 6.

Рис. 6

Дополнение множества А до универсального множества U обозначается , т.е. –– это множество, состоящее из тех и только тех элементов универсального множества, которые не входят в А.

Нетрудно заметить следующие свойства:

1) A È U = U, A Ç U = A;

2) A È = U, A Ç = ?;

3) = A (дополнение к множеству равно А);

4) , .

<< | >>
Источник: Неизвестный. Лекции по высшей математике. 0000

Еще по теме §4. Операции над множествами:

  1. Глава 4. Множества и отношения
  2. Булевы операции над вопросами
  3. Логические операции над вопросами
  4. Операции над множествами.
  5. §4. Операции над множествами
  6. §7. Декартово произведение множеств
  7. §4. Алгебра предикатов. Логические операции над предикатами
  8. Глава IV. Логические операции с понятиями
  9. Понятие операции. Особенности конкретных операций.
  10. 1.2. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна
  11. 1.6. Операции над бинарными отношениями
  12. 1.7. Алгебраические операции
  13. 2.4.3. Логические операции над предикатами
  14. 2.4.4. Кванторные операции над предикатами
  15. 1.1 Теоретико-множественные операции
  16. 1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
  17. 5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
  18. 6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
  19. 1. Системы множеств