§ 2. Операции над событиями

Определение 1. Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Пусть, например, испытание заключается в стрельбе двух стрелков по мишени (каждый стрелок делает по одному выстрелу).

Условимся наступление события обозначать знаком «+», а ненаступление события знаком «–», то полную характеристику события А + В будет давать следующая таблица:

Аналогично определяется сумма трех, четырех и т.д. событий. Вообще, сумма любого множества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного множества.

Рассмотрим пример:

А –– «входящий в подъезд человек –– мужчина»,

B –– «входящий в подъезд человек темноволосый»,

C –– «входящий в подъезд человек –– темноволосый мужчина».

Очевидно, что событие С происходит только при одновременном исполнении

событий А и В.

Определение 2. Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события А и В.

Полную характеристику события АВ дает следующая таблица:

Аналогично определяется произведение любого множества событий.

Определение 3. Событием, противоположным событию называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1422/image/234.gif">.

Противоположное событие можно определить следующей таблицей:

В дальнейшем мы будем часто использовать запись А = В, означающую равенство между событиями А и В. Уточним смысл этой записи.

Определение 4. События А и В называются равными, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает другое.

Равные события могут иметь различные по форме словесные описания. Например, событие «не все учащиеся данного класса успешно написали контрольную работу по математике» и «по крайней мере один из учащихся данного класса не написал контрольную работу по математике» равны, хотя выражены различными оборотами речи.

Для наглядного истолкования соотношений между событиями удобно использовать, диаграммы Эйлера–Венна. Каждое событие в этом случае задается некоторой фигурой на плоскости.

Рис. 1

При таком толковании, событие А + В будет не что иное, как объединение фигур А и В

событие АВ ––пересечением фигур А и В, а событие –– попадание в область, дополнительную к фигуре А.

Пример. С помощью таблиц докажите равенство

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и не наступления левой и правой частей доказываемого равенства:

Последние столбцы этих таблиц одинаковы, это и означает справедливость равенства