§3. Операции над событиями. Свойства вероятности
В теории вероятностей изучаются методы вычисления вероятностей случайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события С можно найти, зная вероятности других событий, связанных с событием С.
Для этого прежде всего используются правила сложения и умножения вероятностей, о которых мы расскажем в этом и следующем параграфах.История о находчивом майоре.
В городе Дрюкове объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших Дрюковоуниверсалбанк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буквами алфавита следующие события:
событие Р — обнаружен преступник Рыков;
событие У — обнаружен преступник Угрюмов;
событие Ф — обнаружен преступник Фомкин;
событие Т — обнаружен преступник Трошкин.
С помощью этих обозначений майор Зимин мог передать любую информацию. Например, сообщение Р + У означало бы, что обнаружен по крайней мере один из двоих преступников, Рыков или Угрюмов; сообщение уф — обнаружены Угрюмов и Фомкин; сообщение 
— Трошкин не обнаружен.
Вскоре в Центр пришли следующие сообщения: 1) У + Ф; 2) УТ; 3) 
. Там их без труда расшифровали. Согласно первой шифровке, обнаружен кто-то из двоих — Угрюмов или Фомкин, причем не исключено, что и оба. Второе сообщение означало, что обнаружены и Угрюмов и Трошкин. Из третьего сообщения следовало, что Фомкин и Рыков не обнаружены. Таким образом, на первом этапе розыска обнаружили двоих преступников.
Дальнейшие шифровки были такими:
4) УТ(Ф + Р); 5) УТФ
; 6) УТФР.
Первая из них означала, что обнаружены Угрюмов, Трошкин и по крайней мере один из двух других преступников.
Вторая шифровка: обнаружены все, кроме Рыкова. Третья: обнаружены все четверо.
УПРАЖНЕНИЯ
6. Расшифруйте донесения группы захвата:
1) Т + У; 2) Т
; 3) У + Ф; 4) У
; 5) Р + Ф; 6) У(Ф + Т).
7. Зашифруйте следующие донесения: 1) взят только один из четырех; 2) взят по крайней мере один; 3) взяли не менее двух; 4)взяли только двоих; 5) взяли только троих; 6) взяли всех четверых.
Вы уже поняли, конечно, что майор Зимин изучал теорию вероятностей. Для шифровки донесений он использовал следующие понятия этой теории.
Сумма событий.
Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий. Например, событие Т + Р + Ф означает, что взят по меньшей мере один из трех (Трошкин, Рыков, Фомкин).
Произведение событий.
Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий. Например, событие РТФ состоит в том что взяты трое - Рыков, Трошкин и Фомкин.
Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие 
. Так вводится понятие противоположного события. Например, событие 
означает, что не взяты оба преступника, Трошкин и Фомкин, а событие , противоположное событию ТФ, состоит в том, что не произошло по крайней мере одно из событий - Т или Ф.
УПРАЖНЕНИЯ
8. Из колоды карт вынимается одна. Событие А — вынута карта красной масти; событие В - вынут туз. Что означают события: , 
, А + В, АВ?
9 Игральная кость бросается один раз.
Событие А — выпало четное число очков; событие В – выпало число очков, кратное трем. Что означает событие А +? Запишите событие, состоящее в выпадении шести очков. 10. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет. Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку; событие В - он сдал экзамен по философии; событие С - получил зачет по физкультуре.
Запишите события:
а) студент не получил зачета;
б)сдал 2 экзамена;
в) сдал по крайней мере один экзамен;
г) получил зачет, но не сдал ни одного экзамена;
д) сдал только один из экзаменов и не получил зачета;
е) не сдал ничего;
ж) сдал все.
Свойства вероятности
Теорема 1. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1)
Доказательство, Пусть число всех исходов равно п. В число исходов, благоприятных событию А + В, входят все исходы, благоприятные событию А и все исходы, благоприятные событию В. Так как события А и В несовместны, то среди перечисленных исходов нет одинаковых. Поэтому т(А + В) = т(А) + т(В). Следовательно,
что и требовалось доказать.
Задача. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?
Решение. Пусть событие А состоит в том, что вынут синий шар, а событие В — вынут красный шар. Тогда Р(А) = 
, Р(В) = 
. Событие А + В означает, что вынут шар синего или красного цвета. Так как события А и В несовместны, то вероятность события А + В вычисляется по формуле (1)
Р(А +В) = + = 
Теорема 2.
Справедлива формула
(1)
Доказательство. Так как события А к А несовместны, то по формуле (1)
Р(А +) = Р(А) + Р().
С другой стороны, событие А + является достоверным, поэтому по свойству II из §2 имеем Р(А + ) = 1. Следовательно, Р() + Р(А) = 1, отсюда Р(А) = 1 – Р(А), что и требовалось доказать.
Задача. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?
Решение. Пусть событие А означает выигрыш. Тогда означает, что билет не выигрывает. По формуле (2)
Р() = 1 - 0,0001 = 0,9999.
Замечание. Формулу (1) можно распространить на любое число событий. Методом математической индукции доказывается, что если события А±, аз, ..., Ап, попарно несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле
Р(А1+А2+...+ Ап) = P(Aj) + Р(А2) + ... + Р(Ап). (3)
УПРАЖНЕНИЕ
11. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выбирают две и составляют двузначное число. Событие А — обе цифры числа четные; событие В — обе цифры нечетные. Что означают события , , А + В, 
, АВ? Найдите вероятности всех перечисленных событий.