§6. Условные вероятности. Вероятность произведения независимых событий

Пусть из ящика, в котором a белых и b черных шаров, наугад последовательно один за другим вынимаются два шара. Рассмотрим события: А –– «первый шар белый», В –– «второй шар белый».

Если событие А произошло, то . Если же А не произошло, то Мы столкнулись с ситуацией, когда вероятность появления события В зависит от того, произошло или не произошло событие А.

Определение 1. Пусть А и В –– два случайных события по отношению к некоторому опыту, причем . Число называется вероятностью события В при условии, что наступило событие А, или просто условной вероятностью события В и обозначается .

Таким образом, по определению имеем следующее равенство:

. (1)

Из равенства (1), являющегося определением условной вероятности, следует:

, (2)

т.е. вероятность произведения двух совместных событий равна вероятности одного из этих событий при условии другого, умноженной на вероятность самого условия.

Если , то наряду с равенством (2) имеет место

. (3)

Формулы (2) и (3) имеют смысл в том случае, когда события А и В совместны, т. е. если имеют смысл события и .

Пример 1. Все грани игральной кости покрашены краской: грани 1, 2, 3 –– красной, грани 4, 5, 6 –– черной. При бросании кости выпала черная грань. Какова вероятность того, что на этой грани стоит четное число очков?

Решение. Мы должны найти условную вероятность , где событие А есть выпадение четного числа очков, а событие В –– выпадение числа очков, большего 3. Имеем:

Пример 2. Слово «папаха» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешиваются. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово «папа»?

Решение. Введем обозначение для событий:

А1 –– первой извлечена буква «п»;

А2 –– второй извлечена буква «а»;

А3 –– третьей извлечена буква «п»;

А4 –– четвертой извлечена буква «а»;

А –– получилось слово «папа».

Очевидно, А=А1А2А3А4. Имеем последовательно:

Итак,

Определение 2. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае А и В называются зависимыми.

Пусть в урне находятся 3 белых и 3 черных шара. Событие А –– вынут белый шар. Очевидно, После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В – во втором испытании вынут белый шар –– также имеется вероятность т.е события А и В –– независимые.

Если события А и В –– независимые, то

тогда из формулы (2) получим:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 3. В мастерской работают два мотора, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.

Решение. Введем обозначения:

А –– «первый мотор не потребует к себе внимания мастера в течение часа»,

В –– «второй мотор не потребует внимания мастера в течение часа»,

Найдем вероятность события АВ: