§3. Классическое определение вероятности

Определение 1. События А, В, С называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе.

Примеры несовместных событий: поражение и не поражение мишени в результате произведенного выстрела, зеленый, желтый и красный цвета светофора к моменту прибытия пешехода к перекрестку, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы.

Определение 2. События А, В, С называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появления другого при этом же испытании.

Например, если в урне имеются белые и черные шары, причем шары каждого цвета имеют свою нумерацию, то, вынимая один шар из урны, мы регистрируем совместные события: цвет шара и его номер.

Определение 3. Если сумма событий А1, А2, …, Аn –– достоверное событие

А1 + А2 + … + Аn = U,

то говорят, что события А1, А2 , А3,…, Аn образуют полную группу событий для данного испытания.

Пример. Пусть имеем события:

А1 –– появление 1 очка при бросании игральной кости,

А2 –– появление 2 очков при бросании игральной кости,

А3 –– появление 3 очков при бросании игральной кости,

А4 –– появление 4 очков при бросании игральной кости,

А5 –– появление 5 очков при бросании игральной кости,

А6 –– появление 6 очков при бросании игральной кости.

Ясно, что при бросании игральной кости хотя бы одно из упомянутых событий непременно произойдет, т.е. А1 + А2 + А3 + А4 + А5 + А6 = U. Таким образом, рассмотренные выше события А1, А2, А3, А4, А5, А6 образуют полную группу событий, ибо А1 + А2 + А3 + А4 + А5 + А6 = U.

Но кроме этого свойства они обладают еще одним: эти события попарно несовместные, т.е.

А1А2 = V, А1А3 = V, A1A4 = V, A1A5 = V, A1A6 = V, A2A3 = V, A2A4 = V, A2A5 = = V, A2A6 = V, A3A4 = V, …, A5A6 = V.

Определение 4. Если события А1, А2, …, Аn обладают следующими двумя свойствами:

1) А1 + А2 + … + Аn = U; 2) АiAk = V при , то говорят, что они образуют полную группу попарно несовместных событий.

Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий А1, А2, …, Аn, связанных с некоторым испытанием. Предполагаем, что в этом испытании осуществление каждого из событий Аi (i = 1, 2, …, n) равновозможно, т.е. испытания не создают преимущества в появлении какого–либо события перед другими возможными.

Если А1, А2, …, Аn –– полная группа попарно несовместных событий, связанных с некоторым испытанием, то события А1, А2, …, Аn называют элементарными событиями.

Определение 5. Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой событие В.

Пусть при бросании игральной кости события А2, А4, А6 –– появление соответственно двух, четырех и шести очков, А –– событие, состоящее в появлении четного числа очков. События А2, А4 и А6 благоприятствуют событию А.

Исторически первым было классическое определение вероятности.

Определение 6 (классическое определение вероятности).

Вероятностью события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных элементарных событий опыта, в котором может появиться событие А.

Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р –– первая буква французского слова probabilite –– вероятность).

В соответствии с определением

(1)

где –– число элементарных событий, благоприятствующих событию А, –– число элементарных событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместных событий.

Пример 1. Найти вероятность появления верхней грани с числом очков, делящимся на 3, при бросании игральной кости.

Решение. Благоприятствующими данному событию А будут элементарные события А3 и А6 (выпадение 3 и 6), а всего элементарных исходов будет шесть. Поэтому

Свойства вероятности

1. Вероятность любого события А подчинена условиям

2. Вероятность достоверного события равна единице:

3. Вероятность невозможного события равна нулю: