§4. Геометрические вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных событий конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких событий бесконечно.

Например, отрезок длиною в 1 метр делится на три части. Какова вероятность того, что можно построить треугольник из получившихся трех отрезков. Теоретически длины получившихся трех отрезков могут быть любыми неотрицательными числами, сумма которых равна 1. В данном случае мы имеем дело с опытом, у которого бесконечное множество исходов.

При решении задач подобного рода большую роль играет геометрическая модель. В рассматриваемом примере модель заключается в том, что на отрезок числовой прямой наудачу бросаются две точки (они разбивают этот отрезок на три части). Выясним смысл выражения «бросают наудачу точки».

Начнем с одной точки. Поскольку точка бросается наудачу, то события «точка попала на правую половину отрезка» и «точка попала на левую половину отрезка» естественно считать равновероятными –– вероятность каждого 0,5. Если же мы разделим отрезок на 10 конгруэнтных отрезков и рассмотрим события «точка попала на левый отрезок», «точка попала на второй слева отрезок», … «точка попала на правый отрезок», то это опять равновероятные события. Вероятность каждого из них придется считать по 0,1.

Найдем теперь вероятность попадания брошенной точки на отрезок [0,3; 0,7]. Этому событию благоприятствуют четыре из отмеченных выше исходов, поэтому искомая вероятность равна 0,4, т.е. длине отмеченного отрезка. Таким образом, смысл выражения «точка брошена наудачу на отрезок длины 1» состоит в том, что вероятность попадания точки на часть этого отрезка длины равна этому числу .

Аналогично понимается смысл выражения «точка брошена наудачу в квадрат со стороной 1 (или в прямоугольник площади 1)». Это значит, что вероятность попадания точки на любую часть этого квадрата (прямоугольника) равна площади этой части.

Вернемся к решению сформулированной в начале параграфа задаче.

Будем рассматривать заданный отрезок как отрезок [0;1] числовой прямой. Наудачу брошенные точки имеют координаты –– числа и из отрезка [0;1]. Но любую пару чисел можно рассматривать как координаты точки плоскости (рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2

Поскольку , то эта точка наугад брошена в квадрат со стороной 1. Выясним, какую фигуру образуют точки, координаты которых удовлетворяют условию задачи. Как известно, из трех отрезков можно построить треугольник, когда выполняется неравенство треугольника для длин его сторон.

При (рис. 1) мы получаем неравенства (длина стороны меньше суммы двух других сторон)

После преобразования приходим к системе неравенств:

Эта система неравенств определяет на плоскости верхний треугольник (рис.

Рис. 3 Рис. 4

При (рис. 4) получается система неравенств,

которая на плоскости определяет второй (нижний) треугольник (рис. 3).

Площадь, заштрихованной на рис. 3 фигуры равна 0,25. Значит, вероятность получить треугольник равна 0,25.

В более сложных случаях может получиться такая картина: имеется область , в нее наудачу бросается точка. Тогда вероятность попадания точки в часть области выражается формулой ,где –– мера (длина, площадь, объем) области ().