1.2.2 Геометрическая интерпретация.

Умножая вектор на матрицу, мы вновь получаем вектор, а значит квадратная n х n матрица может рассматриваться как преобразование n-мерного пространства, а матрица n х m - как преобразование m-мерного про- n

Пзвестно, что в случае, когда матрица A ортогональна, т.е. A= A1 и n равно 2 или 3, то умножение на A соответствует повороту. Поэтому и в многомерном случае умножение на ортогональную матрицу можно интерпретировать как поворот. Вообще, умножение на любую матрицу можно рассматривать как поворот и растяжение (неодинаковое по разным направлениям). Из определения собственного вектора следует, что в направлении собственного вектора (и только в таких направлениях) действие матрицы является чистым растяжением.

В многомерном случае угол между векторами a, Ь определяется как

< a, Ъ > w = arccos ,

И1|Ь||

где < a, Ь > = Y1 к akbk - скалярное произведение векторов. В частности, a, Ь перпендикулярны, если < a, Ь > = 0. Выпишем также формулу

< a, Ь > = с^Ъ,

выполненную по определению произведения матриц и в силу соглашения рассматривать только векторы-столбцы.

Заметим, наконец, что C = вЬг - n х n - матрица с элементами Cjj = a^j, i,j = l,...,n.