<<
>>

7.4.2 Геометрический подход к р-адической теории поля

Вопрос о том, из чего и как произошла существующая Вселенная является очень глубоким, скорее философским, чем физическим вопросом. Единственным инструментом, с помощью которого современная физика позволяет исследовать эту проблему является ретроспективный анализ.

Отталкиваясь от имеющихся данных о современном состоянии Вселенной (с учетом времени прохождения света до наблюдателя), мы экстраполируем геометрические свойства Вселенной назад во времени, используя при этом математические модели, построенные на основе теории относительности и современных квантовополевых теорий. Пределом такой экстраполяции являются планковские масштабы, на которых вопрос об адекватности нашей метрической теории в условиях квантовой гравитации останавливает дальнейшее ретроспективное продвижение. Тем не менее, можно поставить вопрос и наоборот. Если Вселенная произошла, она должна была произойти из Одного нечто. В настоящее же время Вселенная состоит из множества объектов. Следовательно, возникает вопрос, как множество объектов могло произойти из Одного? И это уже не только философская, но и физическая проблема.

Если отбросить гипотезу о существовании a priori не зависящего от материи пространства, то, при существовании Одного перво-объекта, из которого про-изошла Вселенная, не может быть и речи ни о существовании геометрии, ни о временной изменчивости - и то и другое есть система отношений, появляющаяся при наличии многих объектов. Таким образом, появление пространства и времени требует наличия некоторых отношений между объектами. Можно предложить по крайней мере два типа таких отношений: (і) отношения между объектами принадлежащими к определенному множеству; (іі) иерархические отношения между 11 родителями "и "потомками" (или "часть-целое"). Отношения второго типа приводят к размножению исходного множества объектов. На квантовом уровне, "родительский" объект перестает существовать после порождения объектов-"потомков" , например 7 —> е+е".

Для начала нашего геометрического рассмотрения, следуя [20, 25], возьмем

148 двумерную сферу S2, и выясним, какие координаты, кроме обычных сферических координат (в, ф), можно использовать, для локализации объектов, расположенных на сфере. Для этого мы можем использовать тот факт, что п-мерную сферу Sn можно рассматривать в качестве границы (п+1)-мерного симплекса. В случае двух измерений из этого следует, что можно взять двумерный симплекс (треугольник), отождествить его вершины (А = В = С, см. рис. 7.1), склеить ребра, и получить таким образом трехмерный симплекс, гомеоморфный исходной сфере S2. В изображенном на рис. 7.1 двумерном случае, исходный двумерный

В

Рис. 7.1: Разбиение гі-мерного симплекса (d = 2) на (d+2) равных частей. Отождествление вершин А = В = С и склеивание ребер обеспечивает гомеоморфное отображение симплекса на сферу S2.

симплекс делится на р = 4 равносторонних треугольника, отмеченных на рисунке цифрами 0,1,2,3. Исходный треугольник, а следовательно, и исходная сфера, делятся таким образом на р = d + 2 равных частей. Поскольку ту же самую процедуру разбиения можно применить к каждой из частей, мы можем до бесконеч-ности продолжать это деление, индексируя получающиеся части натуральными числами ао, ах,..., где 0 < а; < р.

Если приписать исходному симплексу единичную меру /л (Т0) = 1, то на первой стадии деления мы получим р частей с мерой 1/р для каждой части, на второй р2

149

частей р2 с мерой 1 /р2, и так далее. Очевидно, каждой из частей такого разбиения можно сопоставить р-адическое число х = ao+aip+a,2P2+- ¦ ¦ и использовать его в качестве одномерной (в векторном смысле) р-адической координаты на d мерной сфере. В случае, когда все части имеют равную меру - как это имеет место для d = 2 - это дает наглядную геометрическую интерпретацию нормировки меры Хаара в кольце р-адических целых (7.11). При такой нумерации частей симплекса р-адическими числами, треугольник "1" на рис. 7.1, которому соответствует число х = 0р° + 1р\ имеет меру //(0,1) = |х|р = 1 /р.

В случае пространства большей размерности (d > 2) можно также провести разбиение d-мерного симплекса на р = d + 2 (уже не равных в евклидовой метрике) частей.

Рассматривая произвольный мультипликативный процесс деления единого целого на р частей можно проиндексировать эти части с помощью р-адических целых х Є Zp, так, что каждое такое число несет информацию об истории образования данного элемента или, что то же самое, о всей системе окрестностей данной точки. Мерой элемента, соответствующего числу х будет р,(х) = \х\р. Таким же образом как точка двумерной сферы может быть локализована с помощью системы своих треугольных окрестностей (см. рис. 7.1), р-адические целые поз-воляют локализовать точку объекта высшей размерности с помощью сходящейся системы ее концентрических окрестностей. (Здесь мы не касаемся более общего случая мульти-множеств, или мембранного разбиения, когда число частей может быть различным на разных стадиях мультипликативного процесса [43].)

Геометрия, возникающая при мультипликативном разбиении многомерного объекта, с метрикой (7.7), определенной как разность р-адических координат, уже не будет евклидовой. Это можно продемонстрировать даже в случае двумерной сферы, когда все части разбиения равны в евклидовой метрике. Действительно, р-адическое расстояние dp(x,y) = \х — у\р между элементами имеющими различных родителей всегда будет больше чем между элементами имеющими общего родителя - даже в том случае, когда последние имеют общую границу, т.е. обычное евклидово расстояние между ними равно нулю. Это примерно соот-ветствует ситуации, когда расстояние между населенными пунктами измеряется стоимостью авиаперелета, а рейсы между различными областями летают только из областных центров.

Зададимся вопросом, а какова же физическая природа того, что мы называем непрерывным могообразием? Если имеется лишь несколько объектов (и некоторая система отношений между ними), мы не можем говорить о многообразии. Например, разбиение треугольника, изображенное на рис.

7.1, может быть, в каком то смысле, идентифицировано с тремя кварками, составляющими нуклон (взятыми вместе с взаимодействием между ними), но такое разбиение, само по

150 себе, не ведет ни к какому непрерывному многообразию. Понятие непрерывного многообразия возникает только тогда, когда рассматривается большое число объектов, между которыми установлена сеть отношений.

Если мы верим, что общие принципы квантовой теории поля справедливы не только на непрерывных многообразиях, но и на более общих множествах объектов, связанных некоторой системой отношений, мы можем построить функции Грина и теорию возмущений на этих более общих множествах, не имеющих метрической структуры евклидова пространства, в частности, на множествах, проиндексированных р-адическими числами. Для наглядности построения матричных элементов, функций Грина и прочего, можно пользоваться аналогией с разбиением d-мерного симплекса на р = d + 2 частей, ранее приведенной для двумерной сферы S2. В качестве примера рассмотрим петлевой интеграл для функции Грина в кольце р-адических целых

[ dk f dk

к\ Щ + m2 7 Js,\k\2 + rn2

Интеграл (7.16), в отличие от своего евклидова аналога, очевидно конечен при любых значениях р. Следовательно, уже на простейшем примере нами продемонстрирована возможность исчезновения петлевых расходимостей за счет перехода от евклидова пространства с непрерывной топологией, к р-адическому пространству, топология которого существенным образом отличается от евклидовой, см., например, стр. 145.

Теперь дадим формуле (7.16) геометрическую интерпретацию [25]. Сумма в правой части выражения (7.16) возникает вследствие изотропии подынтегрального выражения f(k) = которое постоянно на р-адических окружностях

S-y = {х Є Qp||x|p = р7}. Поскольку каждая из окружностей содержит в точности (р — 1) точек, сумма в (7.16) легко вычисляется. Это является аналогом интегрирования по сферическим оболочкам в евклидовом пространстве d3r —» Акт2dr.

(7.17)

...CViCVo

Разность между двумя вложенными друг в друга окрестностями (шарами), есть не что иное как сфера, понимаемая в более общем смысле S-, = — V^, - в

151

На первый взгляд, р-адическое разбиение сферы может показаться очень специфическим.

Попытаемся показать, что это лишь частный случай весьма общей физической ситуации. В более общем случае любая точка физического пространства может быть локализована с помощью системы вложенных окрестностей точности как это имеет место для р-адической окружности. При этом вложенные окрестности Vi не образуют а-алгебру, а их разности - окружности - образуют. Именно поэтому интегрирование определено на сумме окружностей ]T)f Si, в точ-ности как это имеет место для р-адической сферы. При этом пространства V* не образуют сг-алгебру, а их разности (Si) образуют. По этой причине удобно определить интегрирование именно на сумме

До сих пор мы рассматривали только математические структуры, связанные с р-адической геометрией. Соответствуют ли они каким-либо физическим объектам? Очевидно, что описание Вселенной в терминах евклидовых координат не является единственно возможным описанием. Альтернативой (псевдо-) евклидовым координатам является описание в терминах семейств вложенных окрестностей (7.17). Так, каждый кварк находится внутри нуклона или мезона, нуклон - внутри ядра, атом - внутри галактики, и так далее, пока цепочка не дойдет до Вселенной в целом - последняя, по определению, включает все

xeVmC Vm-X С ... С V0.

Пересечение любых двух из вложенных друг в друга окрестностей всегда совпадает с одной из них - вложенные окрестности не могут иметь частичного пересечения. Другим требованием, предъявляемым к вложенным друг в друга окрест-ностям (а следовательно, и к их разностям), возникающим из физических соображений, является наличие некоторой дискретной симметрии. Если бы они были бесструктурны, мы имели бы ровно один кварк, один нуклон, одну галактику и т.п. Эта ситуация аналогична структуре поля Qp, хотя и не тождественна ей.

Естественно, возникает также вопрос, как крупномасштабная структура Вселенной, расположение галактик и т.п., может быть связана с неархимедовой р- адической геометрией нашей игрушечной модели. На этот вопрос возможен сле-дующий ответ. Современное состояние Вселенной есть результат ее расширения, последовавшего за Большим взрывом.

"До" Большого взрыва существовала лишь некоторая система отношений между некоторыми первичными объектами, возникшими из Одного перво-объекта. Вследствие некоторого мультипликативного процесса число объектов (частиц) чрезвычайно возросло, но некоторые из первичных отношений сохранились в виде корреляций между удаленными в настоящее время объектами и частями Вселенной. Таким образом, расстояние между различными частями Вселенной может быть измерено не только числом световых лет, но также и уровнем иерархии, на котором различные части Вселенной имели общего предка в процессе эволюции.

Важно отметить два сделанных здесь предположения: (і) множество окрестностей {VJ], используемое для локализации точек физического пространства,

152 предполагается счетным; (ii) замыкание объединения этих множеств Н — U^ есть полное хаусдорфово пространство. Два этих предположения сразу же, согласно лемме Урисона (см., например, [160]), приводят к тому, что Н является полным метрическим пространством. Примерами, иллюстрирующими подобного рода метризацию, является эволюционная классификация видов в биологии и различные метрики, используемые при кластерном анализе данных [148]. Однако, поскольку наши предположения имеют весьма общий математический характер, то же самое может быть применено и для метризации квантового пространства-времени.

Время Роль времени в рассмотренных нами р-адических моделях может быть двоякой. Во-первых, время может рассматриваться как параметр эволюции, связанный с некоторыми часами, которые либо находятся вне рассматриваемой си-стемы, либо принадлежат более глубокому, т.е. микромасштабному, уровню той же системы; в обоих случаях такие часы не оказывают влияния на динамику системы. В определенном смысле, такое рассмотрение полностью аналогично использованию атомных часов при исследовании динамики макрообъектов. Такая точка зрения является классической, не релятивистской.

Другой подход, который мы назовем квантовым временем, состоит в том, что время понимается как дискретная координата, равная числу точек фраг-ментации исходного объекта на части, см. рис. 7.2. Временной интервал, опреде-

Рис. 7.2: Иллюстрация древесной метрической структуры. Расстояние между двумя событиями (объектами) пропорционально возрасту их общего предка, т.е. дискретному времени, прошедшему с момента их разделения. Здесь Тав = 3,Твс = 2.

153

ленный согласно квантовому времени, корректно определен лишь для событий (объектов), принадлежащих одной и той же ветви эволюционной иерархии. В этом случае мы имеем дело с времениподобным интервалом в обычном смысле теории относительности. Иллюстрация времениподобных интервалов для случая квантового времени приведена на рис. 7.2. Интервал Тдд здесь равен 3. Интервал эволюционного типа, связанный с квантовым временем, можно определить и для событий (объектов), принадлежащих различным ветвям эволюционного дерева, т.е. не связанных между собой причинно - в этом случае мы имеем дело с пространственноподобным интервалом. В пределе бесконечно малых времен - Большой Взрыв - используемое нами классическое определение времени должно переходить в квантовое.

Более общий топологический подход к данной проблеме был предложен в работе Кристенсена и Крейна [46], рассмотревшими множество с двумя операциями упорядочения: А с В - включение, а ¦< В - частичное упорядочение, аналогичное обычному Т-упорядочению в вещественном пространстве. Совместное использование этих операций определяется набором весьма естественных аксиом, однако, по мнению авторов работы [46], требует обобщения понятия топо-логического пространства до понятия категории. Вместе с тем, введение двух операций упорядочения весьма аналогично упорядочению операторов, зависящих от масштаба, введенному автором диссертации в работе [194]. Для случая пространства р-адических чисел эти операции связаны с мультипликативной и аддитивной группами в Qp, соответственно.

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 7.4.2 Геометрический подход к р-адической теории поля:

  1. Глава 14. Рассуждения, используемыев гуманитарных областях знания
  2. Глава 7.Многомасштабные разложения и р-адическая теория поля
  3. 7.1 Геометрия и числовые поля в физике
  4. 7.4 р-адическая квантовая теория поля 7.4.1 р-Адическая теория поля и евклидова теория поля
  5. 7.4.2 Геометрический подход к р-адической теории поля
  6. 7.6 р-Адическое вейвлет-преобразование 7.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование над Qp
  7. Заключение
  8. Литература
  9. 1.4. Методы приближенного агрегирования линейных моделей
  10. Берлинский этап становления (завершения) ОТО.
  11. Суперполевой подход к физическому вакууму и буддийское учение о пустоте (Читтаматра и Мадхьямика).
  12. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  13. 5. Механизмы планирования в активных системах
  14. ЭВОЛЮЦИЯ ТРУДОВЫХ ПРАВ ЧЕЛОВЕКА: ЕСТЕСТВЕННО-ПРАВОВОЙ И ЮРИДИКО-ПОЗИТИВИСТСКИЙ подходы
  15. 3.5. Типология государства. Формационный, цивилизованный и другие подходы в типологии государства
  16. I.6.I. Полевой подход к интерпретации
  17. Сущность власти: основные теоретические подходы
  18. 1.4. Особенности методологических подходов к определению новой экономической парадигмы