7.4 р-адическая квантовая теория поля 7.4.1 р-Адическая теория поля и евклидова теория поля

р-Адическая квантовая теория поля (рКТП) представляет собой распространения формализма квантовой теории поля на поле р-адических чисел Qp. Построение рКТП, как и любой обычной квантовополевой модели, начинается построения с функционала действия Б[ф,дф,...], где ф - квантовые поля, являющиеся функциями р-адического аргумента, а дф - псевдо-дифференциалы.

ад Iq°

JQj?

(7.15)

С(ф,дф,..)вРх.

146 При этом определении сохраняется структура всех выражений для связных функций Грина

5п

Gn(xu...,xn)=—\aZ\J]

0j j=о

теория возмущений, диаграммная техника Фейнмана, уравнения Дайсона, теория перенормировок и прочее. Пертурбативные вычисления, как и в обычной теории, выполняются в импульсном пространстве, определенном посредством преобразования Фурье. Более подробно эти вопросы рассмотрены в [161, 227]. Наследуя структуру обычной КТП в евклидовом пространстве, рКТП наследует, хотя и в более мягкой форме, расходимости петлевых интегралов. Так, однопетлевой интеграл

dDk

/

JQI

IQD \к2\р + т2

расходится при D > 2.

До сих пор мы не ставили вопрос о том, насколько правомерна замена ев-клидова пространства с евклидовой метрикой d(x, у) = |х — у| на D-мерное пространство р-адических чисел Qp, метрика в котором может быть определена

различными способами. В простейшем случае dp(x,y) = Іх« — Уі\р- Об

основанием для использования обобщение (7.14) в физических моделях служит тот факт, что как поле Qp, так и поле R являются расширениями одного и того же поля рациональных чисел Q, представляющего физические координаты. Такое расширение, однако, даже взятое вместе с принципами квантовой механики или какими либо другими общими принципами, не предполагает какого-либо конкретного значения р.

К счастью, как это следует из теории чисел, совокупность всех простых значений р, взятых вместе, позволяет воспроизвести свойства обычных функций вещественного аргумента. В частности, разложение плоской волны по р- адическим гармоникам имеет вид

Л Xpfat — kx) = ехр(27гг(о>t — kx)).

рЄргіте

Это так называемая адельная формула. В этом смысле, свободная частица, дви-жущаяся в евклидовом пространстве представляет собой совокупность р-адических плоских волн [176]. Другим, но похожим случаем является р-адическое представление амплитуд рассеяния Венециано. Простейшие адельные формулы для амплитуд Венециано были предложены Фрейндом и Виттеном [65] и, независимо, Воловичем [174], см. также [227].

147

При рассмотренном выше подходе, связанным с покомпонетным определением скалярного произведения векторов (7.14), существенным образом не меняется геометрия модели: сохраняются понятия угла между векторами, плоской волны, направления, скорости и т.д.. Это не решает вопроса о геометрии и топологии физического пространства на планковских масштабах. Альтернативный подход, который мы будем называть геометрическим, был предложен в ряде работ автора [7, 20, 8, 25] и будет изложен в следующих параграфах.