Геометрически нелинейный стержневой конечный элемент

Для вывода выражений, описывающих геометрически нелинейный конеч­

ный элемент воспользуемся стандартной методологией [63]. Стержневой ко­нечный элемент (СКЭ) в пространстве, его локальная система координат x,y,z, а также возможные перемещения его узлов изображены на рис.2.3.

Рис. 2.3. Стержневой конечный элемент в пространстве

Вектор деформации для данного СКЭ, при одномерном напряженно дефор­мированном состоянии, содержащий компоненты осевой деформации и дефор­мации кручения, можно записать в форме [10, 114, 245]

Подставив (2.10-2.12) в (2.13) получим (при подстановке координаты ηи ξв поперечном сечении стержня заменяются на у и z, x_lна х, ф на φ_x)

Полученный вектор деформации удобно разложить на несколько состав­

ляющих и записать в виде, подобно [63]

где' - соответственно линейные, билинейные и нелинейные со­

ставляющие этого вектора равные

Выражение дляполностью соответствует линейной теории при учете рас­тяжения, изгиба и кручения.

Введем вектор перемещений, однозначно определяющий с учетом сделанных ги­потез и предположений перемещения любой точки поперечного сечения СКЭ [245]

и вектор производных перемещений ПО X [63]

Введем вектор узловых перемещений, упорядоченный в следующем виде

Аппроксимируем перемещения стержня (2.21) и их производные (2.22) че­рез функции формы и вектор узловых перемещений [63] в виде

a [N] - матрица функций формы, которая может быть записана в следующем блочном виде

і

Функции формыописывают бесконечномерное поле

перемещений внутри стержневого элемента как функцию конечного числа уз­ловых перемещений [10]. Указанные функции формы выбираются по гранич­ным условиям закрепления СКЭ. Поля перемещений при изгибе аппроксими­руются кубическими полиномами, при растяжении-сжатии и кручении линей­ными полиномами, содержащими, соответственно, четыре и два члена, что рав­но числу узловых степеней свободы соответствующих каждому компоненту вектора перемещений (2.21).

Таблица 2.1. Функции формы для всех типов закрепления узлов СКЭ

На рис. 2.4 показаны графики функций формы, которые были использованы для аппроксимации поля перемещений при изгибе стержня, причем на рис. 2.4 (а) и (б) - связанные с линейными изгибными перемещениями первого и второ­го узла для различных граничных условий, на рис. 2.4 (в) и (г) - связанные с по­

воротами первого и второго узлов в плоскости изгиба стержня.

Рис. 2.4. Графики функций формы, аппроксимирующие изгиб стержня

Используем выражения (2.21-2.27) для аппроксимации составляющих век­

тора деформации (2.18-2.20), выразив их в компактной матричной форме. Ли­

нейная составляющая вектора деформации запишется как

где [B₀] - матрица, описывающая бесконечно малые деформации вида

На основе гипотезы малых деформаций зависимость между напряжениями и деформациями предполагается линейной. Обозначим напряжения в стержне­вом конечном элементе как вектор {σ}, компоненты которого представляют со-

бой нормальные осевые и касательные напряжения

где- диагональная матрица упругости.

Равновесие деформированного стержня обеспечивается равенством прило­женных к стержню внешних сил и внутренних упругих сил реакции стержня.

где {r}- вектор приложенных к системе внешних узловых сил,

- общий вектор внутренних сил реакции системы,- общий вектор переме­щений (узловых степеней свободы) в глобальной системе координат,- век­тор невязки внутренних и внешних узловых сил, к - число СКЭ в системе, общий объем стержневой системы.

Матрицав (2.37) связывает приращения узловых перемещений с при­ращениями деформаций в элементе стержня

Матрицавычисляется как сумма двух следующих матриц

где- матрица малых деформаций (2.29), а матрицалинейно зависит от узловых перемещений элемента {δ}.

Для краткости дальнейшей записи перепишем (2.35) в форме

где

C учетом уравнений (2.36), (2.37) и (2.43) получим окончательное выраже­ние для вычисления вектора узловых сил реакции, соответствующих внутрен­ним упругим силам в виде

где интеграл по объему был заменен двойным интегралом начальная длина СКЭ, А - площадь его поперечного сечения).

Для решения системы нелинейных уравнений (2.38) используют итераци­онный метод Ньютона и его разновидности [66, 238]. Для получения прибли­женного значения векторана каждой итерации необходимо найти зависи­мость междуДля этого продифференцируем уравнение (2.38)

где- матрица касательной жесткости системы, равная сумме матриц ка­сательных жесткостей элементов системы, приведенных к глобальной системе координат. Матрица касательной жесткости отдельного СКЭ в его локальной системе координат находится в виде суммы матриц

где [к₀] - обычная матрица жесткости при малых деформациях, [к_; ] - матри­ца больших перемещений, [K_σ] - матрица геометрической жесткости, завися­щая от величины осевых напряжений.

получить из второго слагаемого в (2.46), учитывая соотношения (2.36) и (2.40)

Матрицааналогична обычной матрице жесткости, однако в ней дополни­тельно учитывается изменение геометрии стержневого элемента.

Выражение для вычисления матрицыполучаем из первого слагаемого в (2.46), принимая во внимание, чтс

После подстановки (2.36) и (2.42) в (2.49) получим

В выражении (2.50) T_x- осевая компонента вектора напряжений (2.36), вычис­ляемая по формуле

Из (2.51) следует, что осевое напряжение T_xи осевая сила являются нелиней­ными функциями перемещений. Физически это означает то, что в изогнутом стержне осевая сила непостоянна по его длине (что соответствует утверждению теории тонких стержней [67, 153]). Вычисление осевой силы по (2.51) при вы­числении матрицы геометрической жесткости [K_σ] позволяет уточнить гео­метрически нелинейную модель стержневого элемента по сравнению с ра­нее опубликованными математическими моделями [65, 163, 210, 245, 326]. Сте­пень уточнения тем больше, чем больше изгиб стержня.

Еще одним уточнением в предлагаемой геометрически нелинейной матема­тической модели является учет взаимосвязи между прогибом стержня и его кручением. Как будет показано позже, уточненная модель позволяет учесть:

• появление упругой осевой силы при кручении стержня;

• появление крутящего момента при пространственном изгибе стержня с попе­речным сечением без центральной симметрии.

2.2.2.