Методы построения уравнений движения геометрически нелинейных стержневых механических систем

Уравнение движения упругой нелинейной механической системы с идеаль­ными кинематическими связями может быть записано в общем виде как [10] H')}+{⅛w}+{⅞ω} ={p(t)}, (!.о

где {f_i} , {f_d } , } - инерционные, диссипативные и упругие внутренние

силы системы, {?(/)} ^-внешние консервативные и неконсервативные силы, действующие на систему.

Для получения уравнений движения используются различные формы ос­новных теорем классической механики: принцип Даламбера, принцип Гамиль­тона, уравнения Лагранжа второго рода [37]. Для неподвижных механических систем упругие тела которых движутся относительно друг друга только в про­

цессе деформации системы выбирают обобщенные координаты в глобальной CK [10, 63]. Уравнения движения в этом случае получают на основе принципа Даламбера, а реакции кинематических связей, при их наличии, учитываются при помощи множителей Лагранжа [334].

В подвижных упругих стержневых механических системах [201, 246, 259, 263, 317, 325, 357, 382] вводятся: 1) обобщенные координаты, определяющие расположение и ориентацию тел механической системы (задающие локальные CK тел); 2) обобщенные координаты, описывающие относительные упругие деформации тел системы в их локальных СК. В работах [201,246,317,325, 357, 382] обобщенные координаты, определяющие положение и ориентацию ло­кальных CK упругих стержней системы, заданы в глобальной СК. В работах по моделированию упругих манипуляторов роботов [207, 254, 378] использованы обобщенные координаты, задающие положение CK упругих стержней относи­тельно CK других стержней. Последний способ требует меньшего числа обоб­щенных координат, чем предыдущий, но при этом необходимо использовать громоздкие выражения с матрицами преобразования координат для перевода координат точек из локальной CK в глобальную.

Для получения дифференциальных уравнений движения стержневой упру­гой системы в работах [201, 246, 263, 317, 325, 357] применяются уравнения Лагранжа второго рода. Дифференциальные уравнения движения таких систем получены в работах [259, 382] на основе вариационного принципа Гамильтона, а алгебраические уравнения кинематических связей - с помощью множителей Лагранжа. Использование относительных обобщенных координат, связанных с движущимися стержнями, приводит к необходимости явного учета в уравнени­ях движения центробежных сил и сил Кориолиса [317, 378].

Сложность учета в уравнениях движения упругих стержневых систем сил демпфирования состоит в получении их точных аналитических выражений. При этом общая диссипация энергии в системе не может быть получена как сумма диссипаций энергии в телах системы [10]. На практике наиболее приме­нима пропорциональная модель демпфирования, согласно которой суммарная диссипация энергии в системе складывается из суммы энергий, поглощенных по каждой из собственных форм колебаний [10]. В этом случае, каждой из соб­ственных частот колебаний ставится в соответствие определенный коэффици­ент демпфирования. Частным случаем пропорциональной модели демпфирова­ния является используемая многими модель Релея [10, 37, 259, 263, 317]. При демпфировании Релея матрица демпфирования системы пропорциональна мат­

рицам масс и жесткости системы, коэффициенты пропорциональности опреде­ляются по двум коэффициентам демпфирования для двух собственных частот, которые подбираются по характеристикам типовых конструкций или экспери­ментальным путем. Важным преимуществом использования модели демпфиро­вания Релея является получение незаполненной ленточной матрицы демпфиро­вания, которая в процедурах МКЭ приводит к экономии оперативной памяти ЭВМ и низким вычислительным затратам при численном интегрировании уравнений движения. Недостатком этой модели является завышенный уровень демпфирования на высших частотах, что для ряда задач делает необходимым применение непропорциональной модели демпфирования [381].

1.1.3.