Прямое численное интегрирование нелинейных уравнений движения

Для численного интегрирования системы нелинейных уравнений движения необходимо использовать итерационные методы в методах прямого интегриро­вания. Наиболее часто используемым методом прямого численного интегриро­вания являются метод Ньюмарка (метод линейного ускорения).

Рассмотрим прямое интегрирование уравнений движения методом Нью­марка с использованием итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона-Рафсона. Для конечноэлементной системы в целом в момент времени

Необходимо определить узловые перемещения, скорости и ускорения, момент времени t+∆t, для которых также должно выполнятся равенство

Вычтя (2.75) из (2.76) и разложив полученное выражение в ряд Тейлора полу­чим уравнение движения в приращениях, полагая ∆tмалым и пренебрегая сла­гаемыми со степенями ∆{δ}²и выше

По сути, выражение (2.79) представляет собой линеаризованное в момент времени t+∆tуравнение движения геометрически нелинейной системы (2.76). Благодаря аналогии с уравнением движения линейной системы, решение для приращений перемещений, скоростей и ускорений в (2.79) для момента t+∆t может быть получено с помощью методов прямого интегрирования, исполь­зуемых для интегрирования линейных систем. Так в работе [357] при числен­ном интегрировании нелинейных уравнений для аппроксимации ускорений и скоростей были использованы формулы линейного метода Ньюмарка (метода среднего ускорения).

где а и β- параметры метода Ньюмарка.

Согласно методу Ньюмарка векторы узловых скоростей и узловых ускоре­ний в момент времени t+Δ∕ определяются по формулам

Подставив (2.81) в уравнения движения (2.79) после преобразований получим

где эффективная матрица жесткости и вектор эффективной нагрузки имеют вид

Получив решение уравнения (2.82) можно вычислить узловые перемещения в момент времени /+Δ/

Полученное решение линеаризованного уравнения движения (2.79) при его подстановке в нелинейное уравнение (2.76) не будет обращать его в равенство. При этом появится вектор сил невязки ∆{ψ} уравнения (2.76) вида

Очевидно, что решением уравнения (2.76) будут те узловые перемещения, ско­рости и ускорения, при которых вектор сил невязки в (2.86) обращается в ноль. Для получения нужного решения с заданной погрешностью необходимо ис­пользовать итерационные методы. Наиболее эффективным с вычислительной точки зрения является модифицированный метод Ньютона-Рафсона [238,239].

Прямое численное интегрирование нелинейных уравнений движения пред­лагается производить неявным методом Ньюмарка в сочетании с итерационным модифицированным методом Ньютона-Рафсона [66, 238, 239]. Начальные при­ближения значений ускорений, скоростей и приращений на первой итерации 123

вычисляются из (2.82) и (2.81).

Приведем алгоритм методики прямого численного интегрирования уравне­ний движения геометрически нелинейной системы:

1) . Предполагаем, что для момента времени / известны начальные условия

удовлетворяющие уравнению равновесия (2.75).

2) . Вычислим матрицу касательной жесткостии вектор

упругих сил системы

3) . Используя аппроксимации метода Ньюмарка для момента времени /+Δ/ по формулам (2.83) и (2.84) вычислим эффективную матрицу жесткости

и вектор эффективной нагрузки. Из решения уравнения (2.82) полу­чим начальное значение приращений перемещений(верхний индекс

обозначает номер итерации по методу Ньютона-Рафсона).

4) . Из (2.85) получим узловые перемещенияИспользуя выражение

(2.81) получим узловые скоростии ускорения

5) .

вектор невязки ∆{ψ}* и если он удовлетворяет условию сходимости, то на­чинаем новый шаг во времении переходим к шагу № 2.

6) . Если условие сходимости не удовлетворено, то вычисляем корректирую­щую поправку приращений перемещений ∆{s}^aпо формуле

где- эффективная матрица жесткости, вычисленная на шаге № 3. Ис­пользуя поправку, корректируем приращения перемещений по формуле

7) . Переходим к следующей итерации для момента времени /+Δ/ - шаг ал­горитма № 4.

Итерации для момента времени /+Δ/ (шаги алгоритма с №№ 4 по 7) повто- 124

ряются до тех пор, пока условия сходимости не будут удовлетворены (шаг № 5). Подобная итерационная схема называется модифицированным методом Ньютона-Рафсона [238, 239], поскольку эффективная матрица жесткости в вы­ражении (2.87) вычисляется только один раз на начальной итерации и остается постоянной на всем временном шаге. Это приводит к снижению вычислитель­ных затрат (треугольное разложение матрицы также делается лишь один раз), но приводит к линейной скорости сходимости итерационной схемы, по сравне­нию с квадратичной скоростью сходимости полного метода Ньютона-Рафсона.

Аналогичная неявная методика численного интегрирования может быть по­лучена с использованием аппроксимирующих формул 0-метода Вилсона. Ос­новным отличием методики на основе 0-метода Вилсона является то, что в ней ищется решение, удовлетворяющее уравнениям равновесия не в момент време­ни t+∆t, а в момент времени ∕+θ∆t, где θ> 1 - параметр метода Вилсона.

Представленный выше алгоритм в случае методики на основе 0-метода Вилсона изменится следующим образом:

• Все индексы переменных, связанные с t+∆tменяются на t + θ∆t.

• Аппроксимирующие формулы (2.81) заменяются следующими

• Константы интегрирования а₀,... ,а_& вычисляются по формулам

• Когда итерационный процесс сошелся к значениям приращений перемеще­ний, удовлетворяющим

уравнения динамического равновесия в момент временис заданной

погрешностью (шаг №5), то после этого вычисляются те же вектора для момента времени t+∆tпри помощи следующих выражений

Было проведено исследование точности предлагаемой методики динамического 125

анализа в зависимости от параметров интегрирования, временного шага Δ/, степе­ни нелинейности, вида нелинейной упругой характеристики («жесткой», «мягкой») , величины и характера возмущающей силы. Полученные результаты указывают на хорошую точность и работоспособность исследуемых методик численного интег­рирования нелинейных уравнений движения, причем методика на основе метода Ньюмарка более точна и требует меньших вычислительных затрат, т.к. не требует дополнительного пересчета решения для момента времени t + Δ t.

2.6.