3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений

В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производные более высоких порядков), отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыдущей итерации) равны соответственно

. Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям

, благодаря которым решение исходной системы запишется в виде:

. Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:

Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к нулю и правые части:

в матричном виде:

Значения и их производные вычисляются при .

Определителем последней системы является якобиан:

Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации.

Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:

В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем

или .

Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения системы нелинейных уравнений функции дважды непрерывно дифференцируемы и определитель матрицы Якоби не равен нулю. Тогда найдется такая малая – окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка: , – метод сходится с квадратичной скоростью.

В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений: , где и – непрерывно дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны . После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить:

Предположим, что якобиан системы при и отличен от нуля:

Тогда значения и можно найти, используя матричный способ следующим образом:

Вычислив значения и можно найти и следующим образом:

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при и .

Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если или .

Пример. Методом Ньютона решить систему двух уравнений:

с точностью до 0,001.

Решение.

1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепишем систему в виде:

Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области и .

За начальное приближение принимают и .

2) Находим



0,5	-0,1052	2	-8,76	49,32
-0,46	-0,3848	5	2,76	49,32
0,5742	0,0114	2,2968	-8,7306	51,2203
-0,4551	0,0052	5,1484	2,7306	51,2203
0,5727	0,00006	2,2908	-8,7252	51,1375
-0,4542	-0,00011	5,1454	2,7252	51,1375
0,5727
-0,4542