3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций 
в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производные более высоких порядков), отбрасываются.
. Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям 
, благодаря которым решение исходной системы запишется в виде: 
. Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений: 
Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к нулю и правые части:
в матричном виде: 
Значения 
и их производные вычисляются при 
.
Определителем последней системы является якобиан:
.
Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.
Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений 
к значениям неизвестных на каждой итерации.
.
В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем
или 
.
Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения 
системы нелинейных уравнений функции 
дважды непрерывно дифференцируемы и определитель матрицы Якоби 
не равен нулю. Тогда найдется такая малая 
– окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения 
из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка: 
, 
– метод сходится с квадратичной скоростью.
В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений: 
, где 
и 
– непрерывно дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны 
. После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить:
Предположим, что якобиан системы при 
и 
отличен от нуля:
.
Тогда значения 
и 
можно найти, используя матричный способ следующим образом:
.
Вычислив значения и можно найти и 
следующим образом:
.
Величины, стоящие в правой части, вычисляются при и .
Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если 
или 
.
Пример. Методом Ньютона решить систему двух уравнений:
с точностью до 0,001.
Решение.
1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепишем систему в виде: 
Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области 
и 
.
За начальное приближение принимают 
и 
.
2) Находим
 |  |  |  |
|
 |  |  |  | |
| 0,5 | -0,1052 | 2 | -8,76 | 49,32 |
| -0,46 | -0,3848 | 5 | 2,76 | |
| 0,5742 | 0,0114 | 2,2968 | -8,7306 | 51,2203 |
| -0,4551 | 0,0052 | 5,1484 | 2,7306 | |
| 0,5727 | 0,00006 | 2,2908 | -8,7252 | 51,1375 |
| -0,4542 | -0,00011 | 5,1454 | 2,7252 | |
| 0,5727 | ||||
| -0,4542 |
Поскольку 
, то 
.
Окончательный ответ: 
и 
.