Методы численного интегрирования нелинейных уравнений движения
Рассмотрим методы прямого численного интегрирования, которые позволяют осуществлять интегрирование без предварительных преобразований уравнений динамического равновесия, что важно при их реализации на ЭВМ для задач большой размерности.
Для линейных систем они подробно рассмотрены в [10, 204], а для нелинейных систем их обзор приведен в работе [239]. Методы прямого численного интегрирования делятся на: явные и неявные [239]. Явные методы (например, метод центральных разностей [199]) используются в основном для анализа высокочастотных реакций конструкций (распространение упругих волн, моделирование удара). Область применения неявных методов (метод Ньюмарка [328] и θ-метод Вилсона [200]) - низкочастотный динамический анализ упругих систем.Алгоритмы общепринятых методов прямого численного интегрирования уравнений движения нелинейных систем схожи с процедурами решения статических задач для нелинейных систем. Аналогично задачам статического анализа нелинейность уравнений (1.1) требует применения итерационных процедур при их интегрировании. В частности, разновидности метода Ньютона-Рафсона (Канторовича) [63, 66] являются обобщением метода Ньютона на нелинейные уравнения со многими переменными. Различают два варианта метода Ньютона- Рафсона: полный и модифицированный [238]. При полном методе матрица касательной жесткости вычисляется на каждой итерации, в модифицированном методе эта матрица вычисляется на начальной итерации и остается постоянной. В [238] показано, что сходимость полного метода Ньютона-Рафсона квадратичная, модифицированного - линейная. Несмотря на это, при реализации на ЭВМ
модифицированный метод оказывается эффективнее (экономичнее), т.к. требуется обращение только одной матрицы жесткости.
При разработке неявных методов численного интегрирования важным фактором является вид полинома, который аппроксимирует обобщенные ускорения в системе на интервале времени между tи /+Δ/ [136].
В работах [6, 136] исследуется влияние вида указанного аппроксимирующего полинома на точность и устойчивость схемы интегрирования. В практических задачах нелинейного динамического анализа большей популярностью пользуется аппроксимация ускорений по методу Ньюмарка [239,245, 246, 253, 317, 357]. В методе Ньюмарка использован метод постоянного среднего ускорения, что при интегрировании линейных систем приводит к безусловно устойчивой схеме интегрирования [199]. При этом в нелинейной постановке исследователи используют те же значения постоянных метода Ньюмарка, что и для линейных систем. Для анализа динамики нелинейных систем метод Ньюмарка объединяется с итерационным методом Ньютона-Рафсона, что приводит к пошагово-итерационной методике численного интегрирования. Обзор показал, что θ-метод Вилсона, основанный на линейной аппроксимации ускорения на интервале tи /+0Δ/, для анализа динамики нелинейных систем на практике не применяется, что связано с дополнительными вычислительными затратами на вычисление конечного решения для момента времени /+Δ/. Необходимо отметить, что оба упомянутых метода являются развитием общего метода линейного ускорения, который в линейной постановке не обладает свойством безусловной устойчивости.Явные методы для нелинейного анализа динамики конструкций и механизмов используются редко [239, 263]. Наиболее популярный явный метод численного интегрирования представляет собой несколько модифицированную «упреждающую» схему интегрирования с использованием центральных разностей [204, 239]. «Упреждение» в этой схеме реализуется за счет вычисления скоростей в момент, соответствующий половине величины временного шага интегрирования. Общий недостаток явных методов интегрирования - жесткие ограничения на временной шаг интегрирования. Из соображений устойчивости метода максимальная величина шага определяется высшими собственными частотами системы, что намного меньше, чем этого требуют неявные методы.
Большая часть исследований в области устойчивости пошаговых прямых алгоритмов численного интегрирования относится к анализу линейных систем [10, 136, 199].
Заключения об устойчивости того или иного метода в линейнойпостановке не могут быть целиком верны для нелинейных систем. Тем не менее, их следует учитывать при выборе величины шага интегрирования. Для условно устойчивых методов, какими являются явные методы, величина шага не должна превышать критическую, определяемую по формуле
2
^cr=-------------------------------------------------------- , (1.2)
где ωmax- наибольшая собственная частота упругой системы, которая в общем случае находится решением проблемы на собственные значения. Для нелинейной системы ωmaxвеличина переменная, поэтому в пакетах программ, использующих явные методы интегрирования, величина временного шага выбирается адаптивно и может меняться в процессе интегрирования.
Устойчивость безусловно устойчивых неявных методов для линейных систем не связана с величиной шага интегрирования. В таких методах ошибки решения, связанные с высшими частотами колебания системы, не вносят значительные погрешности в вычисления реакций системы по низшим формам. Исследования в работах [199, 350] показывают, что сделанные выше утверждения несправедливы для нелинейных систем, при анализе динамики которых может возникнуть численная неустойчивость. Одним из путей решения указанной выше проблемы неустойчивости является разработка методов численного интегрирования, которые предотвращают резкие переходы энергии системы из одного вида в другой. Такие методы, называемые сохраняющими энергию методами численного интегрирования, предложены в работах [201, 350, 351]. Другим путем решения этой проблемы является модификация существующих неявных методов с целью введения в них искусственной численной диссипации энергии, гасящей высокочастотные колебания в упругой системе. Наиболее популярным в этой области методом является метод Хилбера-Хьюс-Тэйлора (Hilber-Hughes-Taylor) [266] и его разновидности [201, 239], которые базируются на методе Ньюмарка, что позволяет реализовать оба метода в одной численной процедуре. Однако, вводимое численное демпфирование высокочастотных колебаний не может обеспечить безусловную устойчивость метода численного интегрирования нелинейных механических систем.
1.2.