Методы численного интегрирования нелинейных уравнений движения

Рассмотрим методы прямого численного интегрирования, которые позво­ляют осуществлять интегрирование без предварительных преобразований уравнений динамического равновесия, что важно при их реализации на ЭВМ для задач большой размерности.

Алгоритмы общепринятых методов прямого численного интегрирования уравнений движения нелинейных систем схожи с процедурами решения стати­ческих задач для нелинейных систем. Аналогично задачам статического анали­за нелинейность уравнений (1.1) требует применения итерационных процедур при их интегрировании. В частности, разновидности метода Ньютона-Рафсона (Канторовича) [63, 66] являются обобщением метода Ньютона на нелинейные уравнения со многими переменными. Различают два варианта метода Ньютона- Рафсона: полный и модифицированный [238]. При полном методе матрица ка­сательной жесткости вычисляется на каждой итерации, в модифицированном методе эта матрица вычисляется на начальной итерации и остается постоянной. В [238] показано, что сходимость полного метода Ньютона-Рафсона квадратич­ная, модифицированного - линейная. Несмотря на это, при реализации на ЭВМ

модифицированный метод оказывается эффективнее (экономичнее), т.к. требу­ется обращение только одной матрицы жесткости.

При разработке неявных методов численного интегрирования важным фак­тором является вид полинома, который аппроксимирует обобщенные ускорения в системе на интервале времени между tи /+Δ/ [136].

Явные методы для нелинейного анализа динамики конструкций и механиз­мов используются редко [239, 263]. Наиболее популярный явный метод чис­ленного интегрирования представляет собой несколько модифицированную «упреждающую» схему интегрирования с использованием центральных разно­стей [204, 239]. «Упреждение» в этой схеме реализуется за счет вычисления скоростей в момент, соответствующий половине величины временного шага интегрирования. Общий недостаток явных методов интегрирования - жесткие ограничения на временной шаг интегрирования. Из соображений устойчивости метода максимальная величина шага определяется высшими собственными частотами системы, что намного меньше, чем этого требуют неявные методы.

Большая часть исследований в области устойчивости пошаговых прямых алгоритмов численного интегрирования относится к анализу линейных систем [10, 136, 199].

постановке не могут быть целиком верны для нелинейных систем. Тем не ме­нее, их следует учитывать при выборе величины шага интегрирования. Для ус­ловно устойчивых методов, какими являются явные методы, величина шага не должна превышать критическую, определяемую по формуле

2

^cr=-------------------------------------------------------- , (1.2)

где ω_max- наибольшая собственная частота упругой системы, которая в общем случае находится решением проблемы на собственные значения. Для нелиней­ной системы ω_maxвеличина переменная, поэтому в пакетах программ, исполь­зующих явные методы интегрирования, величина временного шага выбирается адаптивно и может меняться в процессе интегрирования.

Устойчивость безусловно устойчивых неявных методов для линейных сис­тем не связана с величиной шага интегрирования. В таких методах ошибки ре­шения, связанные с высшими частотами колебания системы, не вносят значи­тельные погрешности в вычисления реакций системы по низшим формам. Ис­следования в работах [199, 350] показывают, что сделанные выше утверждения несправедливы для нелинейных систем, при анализе динамики которых может возникнуть численная неустойчивость. Одним из путей решения указанной выше проблемы неустойчивости является разработка методов численного ин­тегрирования, которые предотвращают резкие переходы энергии системы из одного вида в другой. Такие методы, называемые сохраняющими энергию ме­тодами численного интегрирования, предложены в работах [201, 350, 351]. Другим путем решения этой проблемы является модификация существующих неявных методов с целью введения в них искусственной численной диссипации энергии, гасящей высокочастотные колебания в упругой системе. Наиболее по­пулярным в этой области методом является метод Хилбера-Хьюс-Тэйлора (Hilber-Hughes-Taylor) [266] и его разновидности [201, 239], которые базиру­ются на методе Ньюмарка, что позволяет реализовать оба метода в одной чис­ленной процедуре. Однако, вводимое численное демпфирование высокочастот­ных колебаний не может обеспечить безусловную устойчивость метода чис­ленного интегрирования нелинейных механических систем.

1.2.