<<
>>

Модуль прямого численного интегрирования уравнений движения геометрически нелинейных стержневых систем

Рассмотренная и исследованная в данной главе численная методика реше­ния задач динамического анализа упругих геометрически нелинейных систем реализована в модуле NLIntegr. Это методика прямого численного интегриро­вания нелинейных уравнений движения с аппроксимацией ускорений по мето­ду Ньюмарка и итерациями метода Ньютона-Рафсона на каждом шаге.

Пред­ставленный в этой главе алгоритм был адаптирован под разработанную матема­тическую модель геометрически нелинейного стержневого элемента. Адапти­рованный алгоритм состоит из следующих шагов [115]:

1) . Определяются начальные условия: координаты узлов, начальные скорости

начальный вектор внешних сил

2) . Вычисляются матрицы масс, демпфирования и вектор упругих сил систе­мы, соответствующие значениям начальных координат узлов. Определяются начальные ускорения по формуле

3) . Начало цикла интегрирования по времени.

4) . Для момента времени tвычисляются матрицы касательной жесткости и масс, вектор внутренних упругих сил системы, для момента времени t + ∆Z вычисляется вектор внешних сил.

5) . Вычисляются эффективная матрица жесткостии вектор эффектив­ной нагрузки(формулы (2.83) и (2.84)). Решение системы уравнений

(2.82) дает начальные приращения перемещений и поворотов

6) Начало итераций метода Ньютона-Рафсона (верхний индекс указывает номер итерации).

7) . По приращениямпересчитываются координаты и матрицы ори­

ентации узлов. По формулам (2.81) определяются начальные приближенные значения скоростейи ускоренийТак как приращения пово­ротов узлов імалы, то для них справедлив принцип суперпозиции.

При вычислении угловых скоростей и ускорений узлов в глобальной системе координат также предполагается справедливым принцип суперпозиции.

8) . По вычисленным новым значениям координат и ориентациям узлов вы­числяется. По формуле (2.86) определяется вектор невязки уравне­

ний динамического равновесия системы _ x. Если полученный вектор ∆{ψ}zудовлетворяет критерию сходимости, то полагается

происходит переход к следующему интервалу времени - шагу № 3 данного алгоритма.

9) . В противном случае вычисляется корректирующая поправкапо

формуле (2.87). Значения .используются для корректировки координат и матриц ориентации узлов в момент времени t + ∆t.Вычисляются новые значения узловых скоростей и ускорений по формуле

10) .

Начинается новая итерация метода Ньютона-Рафсона - переход к шагу № 8 алгоритма.

Итерации для момента времени /+∆∕(marπ №№ 6-10) повторяются до

135

тех пор пока условие сходимости не будет удовлетворено.

В вышеописанном алгоритме реализуется модифицированный метод Нью­тона-Рафсона совместно с методом Ньюмарка, с постоянной эффективной мат­рицей жесткости на временном шаге. Если в шаге № 9 этого алгоритма перед вычислением поправки ∆{s}iзаново вычислить матрицы касательной жестко­сти и масс, вектор внутренних упругих сил системы и эффективную матрицу жесткости, то тогда будет реализован полный метод Ньютона-Рафсона. Алго­ритм программного модуля NLIntegr позволяет использовать как модифициро­ванный, так и полный итерационные методы Ньютона-Рафсона. Выбор требуе­мого метода производится с помощью входного параметра модуля.

При анализе методов численного интегрирования было отмечено, что при наличии больших перемещений и больших поворотов в геометрически нели­нейной системе матрица инерции (масс) системы не может считаться постоян­ной. В процессе движения СКЭ совершают значительные перемещения и пово­роты относительно друг друга, что приводит к изменению инерционных харак­теристик системы в целом, т.е. элементы матрицы масс изменяются с течением времени. В зависимости от выбора типа метода Ньютона-Рафсона в модуле NLIntegr используются разные способы учета изменения матрицы масс систе­мы. При полном методе Ньютона-Рафсона матрица масс пересчитывается на каждой итерации. При использовании модифицированного метода матрица масс вычисляется в начале каждого временного шага интегрирования.

Анализ динамики стержневых геометрически нелинейных систем с помо­щью модуля NLIntegr может выполняться как с учетом демпфирования в сис­теме, так и без его учета. Поскольку вопросы демпфирования в нелинейных системах остаются малоизученными, то силы демпфирования в модуле учиты­ваются по линейной теории демпфирования Релея.

Матрица демпфирования при этом вычисляется как линейная комбинация матриц масс и жесткости не- деформированной системы и считается постоянной.

Согласно [239], метод Ньюмарка обладает безусловной устойчивостью только при анализе линейных систем. В нелинейной постановке, в отдельных случаях, возможно нарушение устойчивости метода из-за численных погреш­ностей [350] или же возможно получение неверного решения [199]. Для пре­дотвращения неустойчивости метода численного интегрирования используют схемы интегрирования с внутренним численным рассеянием (диссипацией) энергии. Одним из таких алгоритмов с численным рассеянием энергии является а-метод Хилбера-Хьюс-Тэйлора [269], который является разновидностью ме- 136

тода Ньюмарка (если параметр метода а приравнять нулю, то метод сводится к методу Ньюмарка). Благодаря этому в модуле NLIntegr реализовано численное интегрирование по а-методу Хилбера-Хью-Тэйлора (для перехода от метода Ньюмарка необходимо присвоить параметру а ненулевое значение.). Рекомен­дованное в [239] оптимальное значение параметра а= - 0.05. Использование указанного метода целесообразно в тех случаях, когда интегрирование по мето­ду Ньюмарка неустойчиво.

Из-за сложности внутренней структуры модуля численного интегрирования в работе не приводится описание самой подпрограммы, выполняющей числен­ное интегрирование. Сложность этой подпрограммы обуславливается необхо­димостью ее работы с большим числом параметров и внутренних данных паке­та «COMPASS», которые описывают рассчитываемую конструкцию. Вследст­вие этого, работа самой подпрограммы численного интегрирования невозможна без дополнительных сервисных подпрограмм выполняющих функции подго­товки расчетных данных, считывания их в оперативную память ЭВМ, вывода на печать необходимых результатов. Тем не менее, для построения конечно­элементной модели в программном модуле NLIntegr используются все подпро­граммы, которые описаны в разделе 2.7 данной работы.

Вектор внешних сил, действующих на стержневую систему, вычисляется в пользовательской подпрограмме FUNFU (подпрограмме, которая пишется пользователем для каждого конкретного расчета). Подпрограмма FUNFU и ее параметры должны соответствовать следующему формату:

SUBROUTINE FUNFU (NU, Т, FU)

где NU - число степеней свободы в расчетной схеме (переменная типа INTE- GER*4), T - момент времени, для которого необходимо вычислить вектор внешних сил (переменная типа REAL*8), FU(NU) - выходной параметр: вы­численный вектор внешних сил (массив длиной NU, тип массива - REAL*8).

Перед выполнением численного интегрирования уравнений движения стержневой системы с помощью модуля NLIntegr необходимо выполнить одну начальную итера­цию статического расчета, в процессе которой будут сгенерированы необходимые данные о начальной ориентации узлов и стержневых элементов в расчетной схеме.

2.9.

<< | >>
Источник: ЛУКЬЯНОВ АНДРЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРОБЛЕМЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТОЧНОСТИ ДВИЖЕНИЯ И ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ МОБИЛЬНЫХ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ РОБОТОВ. ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора технических наук. Иркутск - 2005. 2005

Еще по теме Модуль прямого численного интегрирования уравнений движения геометрически нелинейных стержневых систем: