Модуль прямого численного интегрирования уравнений движения геометрически нелинейных стержневых систем
Рассмотренная и исследованная в данной главе численная методика решения задач динамического анализа упругих геометрически нелинейных систем реализована в модуле NLIntegr. Это методика прямого численного интегрирования нелинейных уравнений движения с аппроксимацией ускорений по методу Ньюмарка и итерациями метода Ньютона-Рафсона на каждом шаге.
Представленный в этой главе алгоритм был адаптирован под разработанную математическую модель геометрически нелинейного стержневого элемента. Адаптированный алгоритм состоит из следующих шагов [115]:1) . Определяются начальные условия: координаты узлов, начальные скорости
начальный вектор внешних сил
2) . Вычисляются матрицы масс, демпфирования и вектор упругих сил системы, соответствующие значениям начальных координат узлов. Определяются начальные ускорения по формуле
3) . Начало цикла интегрирования по времени.
4) . Для момента времени tвычисляются матрицы касательной жесткости и масс, вектор внутренних упругих сил системы, для момента времени t + ∆Z вычисляется вектор внешних сил.
5) . Вычисляются эффективная матрица жесткостии вектор эффективной нагрузки
(формулы (2.83) и (2.84)). Решение системы уравнений
(2.82) дает начальные приращения перемещений и поворотов
6) Начало итераций метода Ньютона-Рафсона (верхний индекс указывает номер итерации).
7) . По приращениямпересчитываются координаты и матрицы ори
ентации узлов. По формулам (2.81) определяются начальные приближенные значения скоростейи ускорений
Так как приращения поворотов узлов і
малы, то для них справедлив принцип суперпозиции.
При вычислении угловых скоростей и ускорений узлов в глобальной системе координат также предполагается справедливым принцип суперпозиции.
8) . По вычисленным новым значениям координат и ориентациям узлов вычисляется. По формуле (2.86) определяется вектор невязки уравне
ний динамического равновесия системы _ x. Если полученный вектор ∆{ψ}zудовлетворяет критерию сходимости, то полагается
происходит переход к следующему интервалу времени - шагу № 3 данного алгоритма.
9) . В противном случае вычисляется корректирующая поправкапо
формуле (2.87). Значения .используются для корректировки координат и матриц ориентации узлов в момент времени t + ∆t.Вычисляются новые значения узловых скоростей и ускорений по формуле
10) .
Начинается новая итерация метода Ньютона-Рафсона - переход к шагу № 8 алгоритма.Итерации для момента времени /+∆∕(marπ №№ 6-10) повторяются до
135
тех пор пока условие сходимости не будет удовлетворено.
В вышеописанном алгоритме реализуется модифицированный метод Ньютона-Рафсона совместно с методом Ньюмарка, с постоянной эффективной матрицей жесткости на временном шаге. Если в шаге № 9 этого алгоритма перед вычислением поправки ∆{s}iзаново вычислить матрицы касательной жесткости и масс, вектор внутренних упругих сил системы и эффективную матрицу жесткости, то тогда будет реализован полный метод Ньютона-Рафсона. Алгоритм программного модуля NLIntegr позволяет использовать как модифицированный, так и полный итерационные методы Ньютона-Рафсона. Выбор требуемого метода производится с помощью входного параметра модуля.
При анализе методов численного интегрирования было отмечено, что при наличии больших перемещений и больших поворотов в геометрически нелинейной системе матрица инерции (масс) системы не может считаться постоянной. В процессе движения СКЭ совершают значительные перемещения и повороты относительно друг друга, что приводит к изменению инерционных характеристик системы в целом, т.е. элементы матрицы масс изменяются с течением времени. В зависимости от выбора типа метода Ньютона-Рафсона в модуле NLIntegr используются разные способы учета изменения матрицы масс системы. При полном методе Ньютона-Рафсона матрица масс пересчитывается на каждой итерации. При использовании модифицированного метода матрица масс вычисляется в начале каждого временного шага интегрирования.
Анализ динамики стержневых геометрически нелинейных систем с помощью модуля NLIntegr может выполняться как с учетом демпфирования в системе, так и без его учета. Поскольку вопросы демпфирования в нелинейных системах остаются малоизученными, то силы демпфирования в модуле учитываются по линейной теории демпфирования Релея.
Матрица демпфирования при этом вычисляется как линейная комбинация матриц масс и жесткости не- деформированной системы и считается постоянной.Согласно [239], метод Ньюмарка обладает безусловной устойчивостью только при анализе линейных систем. В нелинейной постановке, в отдельных случаях, возможно нарушение устойчивости метода из-за численных погрешностей [350] или же возможно получение неверного решения [199]. Для предотвращения неустойчивости метода численного интегрирования используют схемы интегрирования с внутренним численным рассеянием (диссипацией) энергии. Одним из таких алгоритмов с численным рассеянием энергии является а-метод Хилбера-Хьюс-Тэйлора [269], который является разновидностью ме- 136
тода Ньюмарка (если параметр метода а приравнять нулю, то метод сводится к методу Ньюмарка). Благодаря этому в модуле NLIntegr реализовано численное интегрирование по а-методу Хилбера-Хью-Тэйлора (для перехода от метода Ньюмарка необходимо присвоить параметру а ненулевое значение.). Рекомендованное в [239] оптимальное значение параметра а= - 0.05. Использование указанного метода целесообразно в тех случаях, когда интегрирование по методу Ньюмарка неустойчиво.
Из-за сложности внутренней структуры модуля численного интегрирования в работе не приводится описание самой подпрограммы, выполняющей численное интегрирование. Сложность этой подпрограммы обуславливается необходимостью ее работы с большим числом параметров и внутренних данных пакета «COMPASS», которые описывают рассчитываемую конструкцию. Вследствие этого, работа самой подпрограммы численного интегрирования невозможна без дополнительных сервисных подпрограмм выполняющих функции подготовки расчетных данных, считывания их в оперативную память ЭВМ, вывода на печать необходимых результатов. Тем не менее, для построения конечноэлементной модели в программном модуле NLIntegr используются все подпрограммы, которые описаны в разделе 2.7 данной работы.
Вектор внешних сил, действующих на стержневую систему, вычисляется в пользовательской подпрограмме FUNFU (подпрограмме, которая пишется пользователем для каждого конкретного расчета). Подпрограмма FUNFU и ее параметры должны соответствовать следующему формату:
SUBROUTINE FUNFU (NU, Т, FU)
где NU - число степеней свободы в расчетной схеме (переменная типа INTE- GER*4), T - момент времени, для которого необходимо вычислить вектор внешних сил (переменная типа REAL*8), FU(NU) - выходной параметр: вычисленный вектор внешних сил (массив длиной NU, тип массива - REAL*8).
Перед выполнением численного интегрирования уравнений движения стержневой системы с помощью модуля NLIntegr необходимо выполнить одну начальную итерацию статического расчета, в процессе которой будут сгенерированы необходимые данные о начальной ориентации узлов и стержневых элементов в расчетной схеме.
2.9.