2.1. Численный метод решения многокритериальной задачи дискретного нелинейного программирования
При совершенствовании ССМП значительное место отводится задачам формирования эффективных управленческих решений с помощью задачи дискретной векторной оптимизации вида:
 , | (2.1) |
 , | (2.2) |
 , | (2.3) |
где 
– вектор целевых функций (показателей эффективности) решаемой задачи; 
– ограничения, накладываемые на переменные рассматриваемой задачи; 
– вектор искомых решений.
Под эффективным решением в данной работе понимается решение, являющееся наилучшим (предпочтительным) по сравнению с остальными решениями. Согласно теории оптимизации решений по Парето [23, 24] таких решений может быть более одного. Поэтому в результате решения многокритериальных задач формируется множество компромиссных (эффективных, оптимальных по Парето) решений, из которых лицо принимающее решение (ЛПР) выбирает конкретный вариант, наиболее полно удовлетворяющий неформализованным целям или интересам данного ЛПР.
В работе [23] приведена значительная библиография работ, посвященных методам решения линейных задач вида (2.1) – (2.3). Как отмечено в работе [25], решение однокритериальных «задач о назначениях» практически значимой размерности традиционными численными методами требует значительных затрат машинного времени.
В работе [26] утверждается, что использование линейной свертки критериев в задачах линейного дискретного программирования приводит к потере 40% точек паретооптимального множества решения таких задач.
В связи с тем, что множество допустимых решений задачи (2.1) – (2.3), которое определяется как:
 , | (2.4) |
является дискретным множеством, то множество достижимости 
[27] этой задачи также будет дискретным множеством. Для дискретного множества 
не выполняются условия выпуклости множества, что не позволяет корректным образом применять при решении задачи (2.1) – (2.3) классический метод линейной свертки целевых функций [26], основанный на применении теоремы С.Карлина [28].
Предположим, что множество (2.4) содержит конечное число векторов 
, сформированных путем полного перебора значений векторов 
[19], или использования рандомизированных методов генерации таких векторов [21], удовлетворяющих условиям (2.2) – (2.3).
Формируя для каждого вектора 
значения целевых функций 
, 
, получаем задачу, которая в практических приложениях конкретизируется как:
 ,
| (2.5) |
Как известно [27, 23], оптимизация решений по Парето основывается на выделении во множестве наилучших (паретооптимальных) точек с использованием отношения предпочтения, заданного на множестве возможных решений.
-ая точка этого множества является предпочтительнее, чем 
-ая точка множества , если для этой пары точек при 
одновременно выполняются все условия вида:  ,
| (2.6) |
причем хотя бы одно неравенство строгое.
Последовательное сравнение возможных решений между собой с исключением из рассмотрения непредпочтительных решений составляет основу метода решения задачи (2.5). Отметим, что множество эффективных (компромиссных) решений (множество Парето) состоит из несравнимых между собой вариантов решений [29].
В работах [23, 29] для выделения оптимальных по Парето точек в континуальном множестве использовалось понятие ортанта, который представляет собой выпуклый острый конус без вершины, порожденный единичными ортантами пространства целевых функций (оценок). При этом утверждается, что рассматриваемая точка является паретооптимальной тогда и только тогда, когда во внутренность ортанта, сдвинутого в эту точку, не попадет ни одна из точек множества .
В связи с дискретностью задачи (6) для выделения в нем эффективных точек будем использовать выпуклый многогранный ортогональный конус, сдвинутый из начала координат в вершину рассматриваемой точки 
, который формально определим как:
 | (2.7) |
Таким образом, разработанный численный метод решения многокритериальных задач дискретного нелинейного программирования включает в себя следующие типовые этапы получения паретооптимальных решений:
10.
Построение приближенного представления множества допустимых решений задачи с использованием условий (2.2) – (2.3). 20. Формирование в пространстве критериев (6) соответствующего приближенного представления 
множеств достижимости (множества оценок) путем вычисления значений критериев (2.1).
30. Выделение в множестве подмножества паретооптимальных (эффективных, неулучшаемых) решений с использованием понятия ортогонального конуса вида (2.7).
В предлагаемом методе, существенное значение, с точки зрения точности получаемых результатов, имеет объем 
выполняемых статистических экспериментов. Для получения приемлемых для практики результатов в данном методе предлагается использовать следующее правило останова: «Процесс последовательного выполнения этапов 10 – 30 завершается, если при статистических экспериментах достигается заданная точность сходимости», т.е. полученное решение при статистических экспериментах отличается от решения при -1 статистических экспериментах в пределах заданной точности.
В результате применения предлагаемого метода, ЛПР, для последующего выбора приемлемого варианта, выдается таблица результатов, включающая в себя номер паретооптимального варианта, соответствующие ему значения целевых функций и значения искомых переменных решаемой задачи.
Однако, как показала практика, количество паретооптимальных решений может быть настолько большим, что разработчику системы будет сложно выбрать такое решение. В этом случае предлагается использовать принцип «близости к идеальной точке», который заключается в следующем. Из всего множества паретооптимальных решений выбираются следующие значения критериев 
, 
и 
, 
. Тогда близким к идеальному решению будет решение из паретооптимального множества, координаты которого находятся на минимальном расстоянии от идеальной точки (см. рис.2.1).
Рис. 2.1.