1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Из всех вопросов темы 1.8 изучается вопрос «Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка».

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно "Методическим указаниям к выполнению контрольной работы".

1.8.1. Решение задачи Коши методом Эйлера

Пусть требуется найти на отрезке [a, b] решение дифференциального уравнения 1-го порядка

(1)

с начальным условием

(2)

(задача Коши). Для этого отрезок, на котором ищется решение задачи, разбивают на частей с шагом и находят значения в точках . Очевидно, что при этом . Значения определяют по формуле

. (3)

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет , где .

Пример. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:

,

начальное условие: .

○ Для численного решения заданного уравнения вида (1) с начальным условием (2) нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .

Первый шаг. (k = 0). Имеем:

; . Вычислим

.

Тогда и, следовательно, по формуле (3) . Делаем следующий шаг.

Второй шаг. (k=1).

.

Вычислим .

Тогда и . И т.д.

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы 1.

Таблица 1.

0	0,2	0,25	0,6513	0,0651	0,3151
1	0,3	0,3151	0,7784	0,0778	0,3929
2	0,4	0,3929	0,9316	0,0932	0,4861
3	0,5	0,4861	1,1160	0,1116	0,5977
4	0,6	0,5977	1,3371	0,1337	0,7314
5	0,7	0,7314	1,6019	0,1602	0,8916
6	0,8	0,8916	1,9184	0,1918	1,0835
7	0,9	1,0835	2,2962	0,2296	1,3131
8	1,0	1,3131	2,7466	0,2747	1,5878
9	1,1	1,5878	3,2829	0,3283	1,9161
10	1,2	1,9161	3,2912	0,3291	2,3081

Т.о., задача решена.

Естественно, процесс вычислений проще организовать в табличном процессоре Excel (Табл.2).

Таблица 2.

Решение находятся в ячейках (k = 0,1,…,10). Значения из столбца F переносятся в столбец С со сдвигом на единицу (например, из F6 в С7 и т.д.). Таблица в режиме показа формул – (табл.3).

Таблица 3.

Вопросы для самопроверки по теме 1.8

1. В чём состоит задача Коши?

2. Напишите расчётную формулу метода Эйлера при решении дифференциального уравнения 1-го порядка и формулу оценки погрешности на каждом шаге.