<<
>>

Тема 7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнение, содержащее производные от искомой функции y = y(x), называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Общий вид дифференциального уравнения:

(7.1)

где n – наивысший порядок производной, определяет порядок уравнения.

Решением ОДУ называется функция y = y(x), которая после ее подстановки в уравнение (7.1) обращает его в тождество.

Общее решение ОДУ имеет вид:

(7.2)

где C1, C2, …, Cn – постоянные интегрирования.

Частное решение получается из общего при конкретных значениях Ci, . Эти значения определяются из n дополнительных условий. В качестве таких условий могут быть заданы значения функции и ее производных при некоторых значениях аргумента x, иначе говоря, в некоторых точках.

В зависимости от того, как заданы эти дополнительные условия, выделяют 2 типа задач:

· Задача Коши. Все условия заданы в одной, начальной точке, поэтому они называются начальными условиями.

· Краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке, обычно в начальной и конечной. Условия в этом случае называются краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только при решении ОДУ с порядком выше первого.

Разработано множество методов решения подобных задач:

1. Графические методы. Например, метод изоклин - путем графических построений находят точки исходной функции и строят ее график.

2. Аналитические методы позволяют получить формулу исходной функции путем аналитических преобразований.

3. Приближенные методы позволяют получить приближенное аналитическое решение в результате принятых упрощений. К приближенным относятся асимптотические методы и метод малых возмущений.

4. Численные методы позволяют получить таблицу приближенных значений искомой функции для ряда заранее выбранных значений ее аргумента.

На практике чаще всего применяются численные методы: они просты в использовании и не имеют ограничений.

Задача решения ОДУ 1-го порядка (задача Коши) формулируется следующим образом:

Найти y = y(x), удовлетворяющую уравнению

y’ = f(x,y) (7.3)

для x Î [a,b] при заданном начальном условии y(a) = y0.

Рассмотрим численные методы решения этой задачи.

<< | >>
Источник: Мухамадеев И.Г.. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. КУРС ЛЕКЦИЙ. 2007

Еще по теме Тема 7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.:

  1. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
  2. О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ
  3. 1.5 Математические модели динамики развития популяций микроорганизмов
  4. 10. О применимости результатов качественной теории динамических систем к социальным системам
  5. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  6. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
  7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  8. Примечание 1 Определенность понятия математического бесконечного
  9. 4. Закон. Динамические и статистические закономерности
  10. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  11. 2.2. Тематический план дисциплины
  12. 1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
  13. Виды дифференциальных уравнений
  14. Краткие теоретические сведения