28. Решение дифференциальных уравнений с использованием преобразования Лапласса

Преобразова?ние Лапла?са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Решение.Находим изображения правых и левых частей уравнения

Решив систему, получим

Разложим каждую дробь на простые дроби вида

Для получаем систему

Откуда

Для получаем систему

Откуда

Для получаем систему

Откуда

Ответ:

Типы дифференциальных уравнений I порядка

Тип уравнения	Стандартная форма записи	Особенности	Метод решения
С разделяющимися переменными		При дифференциалах – произведения функций, зависящих одна от x, другая – от y
		Правая часть – произведение функций, зависящих одна от x, другая – от y
Однородное		Правая часть – однородная функция нулевого порядка
		- однородные функции одинакового порядка
В полных дифференциалах
Линейное		Первой степени относительно и
		Первой степени относительно и
Бернулли		Отличается от линейного правой частью	Аналогично линейным