Задать вопрос юристу

12. Уравнение огибающих линий. Огибающие кривые.

Огибающая. Множество линий называется семейством (однопараметрическим), если каждой линии можно поставить в соответствие определенное число С таким образом, чтобы непрерывному изменению пар-ра С соответств.

Непрерыв. видоизменение линии. Уравн.вида (1) где f –непрерывная ф-ция трех аргументов представляет семейство линий на плоскости. Отдельные линии семейства соответствуют отдельным значениям С. Ур.(1) называется уравнением семейства.

Уравнение:

· -представляет семейство прямых линий. За параметр принят угловой коэффициент прямой.

· представл. Семейство окружностей радиуса 1 с центрами на оси Ox.за параметр принята абсцисса центра.

· семейство окружностей с центром в т.O(0,0).За параметр принят радиус.

Огибающей данного семейства называется такая линия, которая в каждой своей точке касается одной из линий семейства.

Теорема. Огибающая семейства (1) принадлежит так называемой дискриминантной линии, т.е. геометрическому месту точек, удовлетворяющих уравнениям

, при всевозможных значениях C. Если исключить С из этих уравнений, получим уравнение дискриминантной линии.

Примеры

Для семейства окружностей одинакового радиуса с центрами на прямой огибающая состоит из двух параллельных прямых.

Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.

Парабола является огибающей семейства срединных перпендикуляров для отрезков соединяющих фиксированную точку (фокус параболы) и фиксированную прямую (директрису параболы).

13. Уравнение Клеро

Дифференцируя по получим: ; или

=0; откуда или =0 и, значит, или В первом случае, исключая - однопараметрическое семейство интегральных прямых (общее решение). Во втором случае решение определяется уравнениями и

Интегральная кривая определяемая данными уравнениями является огибающей семейства интегральных прямых.(т.е. огибающая некоторого семейства имеют вид и и от тех уравнений отличается лишь обозначением параметра (с вместо p))

Особое решение. Необходимо исключить параметр . Соотношение определяет дискриминантную кривую, касательными к которой будет общие решения (по отношению к ним дискриминантная кривая - огибающая).

Пример. , где ;

Общее: -семейство прямых,

Особое решение:

Исключая параметр : - огибающая для семейства прямых.

<< |
Источник: Ответы по предмету Дифференциальные уравнения. 2016

Еще по теме 12. Уравнение огибающих линий. Огибающие кривые.:

  1. Кривые второго порядка.
  2. Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
  3. 4. Кривые второго порядка. Окружность.
  4. 5. Кривые второго порядка. Окружность.
  5. Тема 8. Кривые второго порядка.
  6. Кривые безразличия
  7. Кривые безразличия
  8. 3. Уравнения, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными.
  9. § 19. Нарушение правил охраны линий связи
  10. § 21.7. КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
  11. Кривые безразличия
  12. Статья 360. Умышленное повреждение линий связи
  13. Методы пересечения линий