Тема 8. Кривые второго порядка.
Алгебраической кривой второго порядка в системе координат 
называется кривая 
, общее уравнение которой имеет вид:
,
где числа 
- не равны нулю одновременно.
, то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при 
), эллипс (при 
), пустое множество, точку); 2) если 
, то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если 
, то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка. Общее уравнение
, где 
, определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:
1а) 
- уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
(рис.
1б) 
- уравнение эллипса с центром в точке 
и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа 
и 
- называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами 
, 
параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.
Для построения эллипса в системе координат :1) отмечаем центр 
эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами , 
параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.8) .
Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны 
(рис. 7).
Рис.7 Рис. 8
2) 
- уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые 
, проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.
Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы 
(рис. 9) или гиперболы 
(рис. 10).
Рис.9 Рис. 10
3а) 
- уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси 
(рис. 11).
3б) 
- уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси 
(рис. 12).
Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы 
: при 
- в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 11а и 12а); при 
- в отрицательную сторону координатной оси (рис.11б и 12б) .
Рис. 11а Рис. 11б
Рис. 12а Рис. 12б