Тема 7. Прямые линии и плоскости.
Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор
перпендикулярный данной прямой.


Прямая на плоскости в системе координат
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение прямой, где
- нормальный вектор прямой;
2) - уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно данному вектору
;
3) - уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно данному вектору
(каноническое уравнение);
4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки
,
;
5) - уравнения прямой с угловым коэффициентом
, где
- точка через которую прямая проходит;
(
) – угол, который прямая составляет с осью
;
- длина отрезка (со знаком
), отсекаемого прямой на оси
(знак «
», если отрезок отсекается на положительной части оси и «
», если на отрицательной).
6) - уравнение прямой в отрезках, где
и
- длины отрезков (со знаком
), отсекаемых прямой на координатных осях
и
(знак «
», если отрезок отсекается на положительной части оси и «
», если на отрицательной).
Расстояние от точки до прямой
, заданной общим уравнением
на плоскости, находится по формуле:
.
Угол , (
) между прямыми
и
, заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:
;
.
, если
или
.
,если
или
Координаты точки пересечения прямых и
находятся как решение системы линейных уравнений:
или
.
Нормальным вектором плоскости , называется всякий ненулевой вектор
перпендикулярный данной плоскости.
Плоскость в системе координат
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение плоскости, где
- нормальный вектор плоскости;
2) - уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно данному вектору
;
3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки
,
и
;
4) - уравнение плоскости в отрезках, где
,
и
- дины отрезков (со знаком
), отсекаемых плоскостью на координатных осях
,
и
(знак «
», если отрезок отсекается на положительной части оси и «
», если на отрицательной).
Расстояние от точки до плоскости
, заданной общим уравнением
, находится по формуле:
.
Угол , (
) между плоскостями
и
, заданными общими уравнениями, находится по формуле:
.
, если
, если
.
Прямая в пространстве в системе координат
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где
и
- нормальные векторы плоскостей
и
;
2) - уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно данному вектору
(каноническое уравнение);
3) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки
,
;
4) - уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно данному вектору
,
(параметрическое уравнение);
Угол , (
) между прямыми
и
в пространстве, заданными каноническими уравнениями находится по формуле:
.
, если
.
, если
.
Координаты точки пересечения прямой , заданной параметрическим уравнением и плоскости
, заданной общим уравнением, находятся как решение системы линейных уравнений:
.
Угол , (
) между прямой
, заданной каноническим уравнением и плоскостью
, заданной общим уравнением находится по формуле:
.
, если
.
, если
.