Тема 7. Прямые линии и плоскости.
Нормальным вектором прямой 
, называется всякий ненулевой вектор 
перпендикулярный данной прямой.
, называется всякий ненулевой вектор 
параллельный данной прямой. Прямая 
на плоскости в системе координат 
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) 
- общее уравнение прямой, где 
- нормальный вектор прямой;
2) 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно данному вектору 
;
3) 
- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору 
(каноническое уравнение);
4) 
- уравнение прямой, проходящей через две данные точки 
, 
;
5) 
- уравнения прямой с угловым коэффициентом 
, где - точка через которую прямая проходит; 
(
) – угол, который прямая составляет с осью 
; 
- длина отрезка (со знаком 
), отсекаемого прямой на оси 
(знак «
», если отрезок отсекается на положительной части оси и «
», если на отрицательной).
6) 
- уравнение прямой в отрезках, где 
и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).
Расстояние от точки 
до прямой , заданной общим уравнением
на плоскости, находится по формуле:
.
Угол 
, (
) между прямыми 
и 
, заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:
; 
.
, если 
или 
.
,если 
или 
Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений: 
или 
.
Нормальным вектором плоскости 
, называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной плоскости.
Плоскость в системе координат 
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) 
- общее уравнение плоскости, где 
- нормальный вектор плоскости;
2) 
- уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно данному вектору 
;
3) 
- уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
и 
;
4) 
- уравнение плоскости в отрезках, где , и 
- дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на координатных осях , и 
(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).
Расстояние от точки 
до плоскости , заданной общим уравнением
, находится по формуле:
.
Угол 
, () между плоскостями 
и 
, заданными общими уравнениями, находится по формуле:
.
, если 
, если 
.
Прямая в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) 
- общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где 
и 
- нормальные векторы плоскостей 
и ;
2) 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно данному вектору 
(каноническое уравнение);
3) 
- уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;
4) 
- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору 
, 
(параметрическое уравнение);
Угол , () между прямыми и в пространстве, заданными каноническими уравнениями находится по формуле:
.
, если 
.
, если 
.
Координаты точки пересечения прямой , заданной параметрическим уравнением и плоскости , заданной общим уравнением, находятся как решение системы линейных уравнений: 
.
Угол 
, () между прямой , заданной каноническим уравнением и плоскостью , заданной общим уравнением находится по формуле: 
.
, если 
.
, если 
.