1.6. Линия на плоскости.

Всякая линия на плоскости представляет собой совокупность точек. Если известно аналитическое соотношение (формула), связывающее координаты любой (текущей) точки М(х,у), лежащей на этой линии, говорят – линия задана своим уравнением у = f (x) (в общем случае F(x,y) = 0).

Если в уравнение линии подставить координаты любой ее точки, то уравнение обратится в тождество.

1.6.1. Прямая на плоскости.

Всякое уравнение первой степени (линейное) относительно х и у вида

Ах + Ву + С = 0 (1.29),

(А, В, С – постоянные величины, причем А2+ В2 ? 0) определяет на плоскости некоторую прямую и называется общим уравнением прямой. Рассмотрим частные случаи:

1. А ? 0, В ? 0, С = 0. Очевидно, что Ах + Ву = 0 – уравнение прямой проходящей через начало координат.

2. А = 0, В ? 0, С ? 0. Уравнение (1.29) преобразуется к виду у = – С / В = b и определяет прямую параллельную оси Ох (При С = 0 => b = 0 и прямая совпадает с осью Ох)

3. А ? 0, В = 0, С ? 0. Уравнение (1.29) принимает вид х = – С /А = а и определяет прямую параллельную оси Оу (При С = 0 => a = 0 и прямая совпадает с осью Оу)

4. Если В ? 0, то, разрешив (1.29) относительно у, получим уравнение вида

у = кх + b (1.30)

(к = – А / В, b = – С / В), называемое уравнением с угловым коэффициентом, (к = tga, где a – угол между прямой и положительным направлением оси Oх. b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу).

5. Если в (1.29) С ? 0, то разделив обе части равенства на -С, получим уравнение вида (х / а) – (у / b) = 1 (1.31)

( а = – С/А; b = – С/В, называемое уравнением прямой в отрезках (|a| и |b| – длины отрезков, отсекаемых на осях Ох и Оу от начала координат).

6. Умножив обе части (1.29) на (нормирующий множитель, знак которого выбирают из условия m С < 0) получим нормальное уравнение прямой х соs j + y sin j – p = 0 (1.32),

, где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j – угол между ним и осью Ох.

Используя предложенные формы уравнений прямой можно получить следующие соотношения:

Острый угол между прямыми у = к1х + b1, у = к2х + b2, определится по формуле: (1.33)

Из нее легко получить условие параллельности к1 = к2 (1.34) и

перпендикулярности к2 = – 1 / к1 (1.35) прямых.

Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0) под заданным углом a к оси Ох (с заданным угловым коэффициентом к = tga) примет вид

у – у0 = к (х – х0) (1.36),

а уравнение прямой, проходящей через заданные точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2).

(1.37)

Найти координаты точки пересечения прямых можно решив систему уравнений, определяющих эти прямые.

Расстояние от точки М0(х0, у0) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле: (1.38)

Деление отрезка в данном отношении. Приведем еще одно соотношение, часто используемое в аналитической геометрии. Проведем прямую через точки А(х1, у1) и В(х2, у2). Всякая третья точка С(х, у) прямой делит отрезок АВ в некотором отношении l = ± АС / СВ (если точка С лежит внутри отрезка АВ, то l > 0, если вне, то l < 0). Координаты точки С определяются выражениями:

(1.39) (l = 1, если точка С – середина отрезка).

Контрольные вопросы.

1) Каков характерный признак, отличающий уравнение прямой в декартовой системе координат от уравнений других линий?

2) Как расположена прямая относительно декартовой системы координат, если в её уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) одна из координат и свободный член?

3) Как вычислить угол между двумя прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?

4) Как можно найти угловой коэффициент прямой, если известно её общее уравнение? Можно ли найти угловой коэффициент прямой, не составляя её уравнения, если известны две её точки? Если да, то как это сделать?

5) Напишите уравнение прямой проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две данные точки.

6) Напишите формулы, выражающие координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, через координаты его концов.

7) Напишите формулы, выражающие координаты: а) середины отрезка через координаты его концов; б) центра тяжести треугольника через координаты его вершин.

8) Напишите формулу, выражающую площадь треугольника через координаты его вершин.

9) Как найти расстояние от данной точки до прямой, заданной уравнением общего вида?

10) Напишите уравнения осей декартовой системы координат.

Тест 9.

1) Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2,0), В(5,3), С(2,6) и указать верный ответ:

а) 9 кв.ед., б) 8 кв. ед.

2) Определить параметры k и b для каждой из прямых:

1) ;

2) ; 3) ; 4) и указать верные ответы:

1) а) ; б) ; 2) а) ; б) ;

3) а) ; б) ; 4) а) ; б) .

1.6.2. Кривые второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости хОу имеет вид

Ах2 + Вху + Су2 + 2Дх + 2Еу + F = 0 (1.40)

(Порядок кривой определяется наивысшей степенью неизвестных, входящих в ее уравнение). Можно показать, что это уравнение описывает либо две пересекающиеся прямые, либо одну из следующих кривых: эллипс, гиперболу или параболу (включая вырожденные случаи).

Эллипс. Окружность.

Эллипсом называют множество (геометрическое место) точек, суммы расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта величина больше расстояния между фокусами (его обозначают через 2с).

Если фокусы эллипса размещаюся на оси Ох симметрично началу координат в точках F1(c, 0) и F2 (-c, 0) (рис.1.7), то уравнение эллипса примет простейшую (каноническую) форму: (1.41)

где а и b – большая и малая полуоси эллипса, причем а, b, с связаны соотношением а2 = b2 + с2. Форма эллипса (мера сжатия) характеризуется эксцентриситетом (1.42).

Очевидно, что 0 £ е £ 1; е = 1 при b = 0 и эллипс вырождается в отрезок длиной 2а; е = 0 при b = a, когда эллипс вырождается в окружность радиуса а.

Расстояния произвольной точки М(х, у) эллипса от его фокусов называются фокальными радиусами – векторами этой точки, обозначаются r1 и r2 и могут быть вычислены по формулам r1 = а – ех (1.43) (правый радиус – вектор) и r1 = а + ех (1.43`) (левый радиус – вектор).

При е = 0 (а = b = r) уравнение примет вид х2 + у2 = r2 (1.44)

Это уравнение окружности – геометрического места точек равноудаленных от данной точки, называемой центром (в ней «сошлись» фокусы эллипса), с центром в начале координат. Уравнение окружности с центром в заданной точке С(а, b) примет вид (х – а)2 + (у – b)2 = r2 (1.44`)

Гипербола.

причем эта величина меньше расстояния между фокусами (ее обозначают через 2с).

Если фокусы гиперболы расположены на оси Ох симметрично началу координат в точках F1(с, 0) и F2(–с, 0), уравнение гиперболы примет каноническую форму

(1.46), причем b2 = c2 – a2 (1.47).

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А1(а, 0) и А2(–а, 0) называются вершинами гиперболы (рис.1.8). Отрезки А1А2 = 2а и В1В2 = 2b называют действительной и мнимой осями гиперболы. Прямые (1.48) - наклонные асимптоты гиперболы.

(Прямая называется наклонной асимптотой кривой, если расстояние между этой прямой и точкой М(х, у) кривой стремится к нулю при стремлении х к ± ¥ (х ® ± ¥)).

Величину (1.49) называют эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, что 1 £ е < ¥; при b = 0 (е = 1) гипербола вырождается в две полупрямые, лежащие на оси Ох и разделенные промежутком (–а, а).

Фокальные радиусы – векторы определяются соотношениями:

При а = b (e = ) (такая гипербола называется равнобочной) асимптоты гиперболы – биссектрисы координатных углов.

Две гиперболы и , имеющие одни и те же оси и асимптоты (мнимая ось одной совпадает с действительной осью другой) называют сопряженными.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если фокус параболы в точке F(р/2, 0), а уравнение директрисы х = –р / 2, то уравнение параболы примет вид у2 = 2рх (1.51).

Эта парабола симметрична относительно оси Ох и при р > 0 расположена как на рис. (1.9). х2 = 2ру (1.51`) уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу. Фокальный радиус – вектор параболы (1.51) определяется соотношением:

r = x + (p / 2) (p > 0) (1.52).

Контрольные вопросы.

1) Что называется уравнением линии. Приведите примеры.

2) Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии?

3) Как Найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями?

4) Что называется порядком алгебраической линии?

5) По какому признаку можно определить, является ли данное уравнение второго порядка уравнением окружности в декартовой системе координат? Как в этом случае можно найти её центр и радиус?

6) Сформулируйте определения эллипса, гиперболы и параболы. Каковы канонические уравнения этих линий и при каком расположении осей координат имеют место эти уравнения?

7) Что называется эксцентриситетом эллипса и гиперболы и какие значения он может иметь для каждой из этих линий?

Тест 10.

1) Написать уравнение окружности с центром С(-4,3), радиусом R=5. Лежат ли на этой окружности точки А(-1,-1), В(3,2), О(0,0)? Указать верный ответ.

а) , А и О на окружности, В – вне её;

б) , В и О на окружности, А – вне её.

2) Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3. Выбрать правильный ответ:

а) ; б) .

3) Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами гиперболы .Выбрать верный ответ:

а). б)

4) Построить параболы, заданные уравнениями: 1) 2) . Найти фокусы и уравнения директрис. Выбрать верный ответ:

1) а) ; б) .

2) а) ; б)