1.5.Векторы. Основные операции над векторами.

Зададим на плоскости хОу две произвольные точки А(х1,у1) и В(х2,у2) (рис.1.4). Длина отрезка АВ легко определяется из прямоугольного треугольника АВВ` и составит:

, где (АВ)х и (АВ)у – проекции отрезка АВ на соответствующие оси.

значением и называется скалярной.

Геометрическим вектором называют направленный отрезок, обозначают его `точки А и В – начало и конец вектора) и характеризуют двумя параметрами: модулем (длиной) (обозначается || = АВ) и направлением. Вектор, который без изменения длины и направления можно перенести в любую точку пространства, называют свободным. (В предлагаемом курсе рассматриваются эти векторы). Вектор удобнее обозначать `а, `b и т.д. Векторы `а и`b равны (`а =`b), если совпадают их длины | а |= |`b| или а = b) и направления. Если модули равны, а направления противоположны, векторы отличаются знаком т.е. = – . Суммой векторов `а и`b называют вектор `с =`а +`b, определяемый (рис.1.5) по правилу треугольника: начало `b совмещают с концом `а , `с соединяет начало `а с концом`b. ( = + на рис 1.5).

Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр называют линейными.

Сумму вида , где - скаляры, называют линейной комбинацией векторов (Или говорят, что вектор линейно выражается через ) Векторы называют линейно независимыми, если ни один из них не выражается линейно через другие (не может быть представлен их линейной комбинацией). Формальное определение таково: векторы а1, а2, …, аn называют линейно – зависимыми, если l1`а1 + l2`а2 +…+ln`аn = 0 (1.15),

где l1, l2, …, ln – числа, хотя бы одно из которых отлично от нуля. В этом случае один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Если соотношение (1.15) выполняется только в случае, когда l1 = l2 =… = ln = 0, то`а1,`а2, …,`аn линейно независимы.

Вернемся к рис.1.4. Зададим направления осей Ох и Оу единичными векторами `i и`j соответственно. Очевидно, что = +. Но очевидно также, что = `i ?АВ` = `i ? (АВ)х и = `j ? В`B = `j ? (АВ)у. Таким образом вектор `a в двумерных декартовых координатах можно представить в виде: `a = `i ax + `j ay () а в трехмерных `a = `i ax + `j ay + `каz, где ах, ау, аz – проекции вектора`a на соответствующие оси, , а i,`j,`к – единичные векторы этих осей.

Аналогично определяется базис в трехмерном пространстве, где любой вектор можно представить в виде `а = а1`е1 + а2`е2 + а3`е3 или `а( а1, а2, а3), где а1, а2, а3 координаты вектора `а в базисе (`е1,`е2,`е3).

Ортонормированным называется базис взаимноперпендикулярных векторов единичной длины (ортов).

Направление `а определяется углами a, b, g образованными с осями Ох, Оу, Оz соответственно. Направляющие косинусы вектора `а определяются выражениями: (1.16)

и связаны соотношением: cos2a + cos2b + cos2g = 1 (1.17).

Линейные операции над векторами, данными в разложении по декартову базису записывают так: `с = `а + `b = (ax + bx)`i +(ay + by)`j + (az + bz)`к (1.18) и `а l = ax li + ay lj + az lк (1.19)

Произвольной точке М (х, у, z) можно поставить в соответствие вектор `r, соединяющий начало координат с точкой М, называемый радиусом – вектором точки М и обозначаемый `r (М). Очевидно, что `r = `i x + `j y + `кz, где x, y, z координаты этой точки. Вектор где А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2) начало и конец вектора можно представить в виде = `r2 – `r1.

Контрольные вопросы.

1) Что называется вектором? Что называется модулем вектора?

2) Как определяется равенство векторов?

3) Как определяются операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр (линейные операции над векторами)? Каковы их свойства?

4) Как определяются координаты вектора в пространстве?

5) Как выражаются модель вектора и его направляющие косинусы через координаты вектора?

6) Как выражаются координаты вектора через координаты точек, являющихся началом и концом этого вектора?

7) Напишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве.

8) Как производится сложение векторов и умножение вектора на скаляр (линейные операции над векторами), если векторы заданы своими координатами?

Тест 6.

1) Найдите координаты вектора и его длину, если даны точки А(1,2,3) и В(3,-4,6) и укажите верный ответ:

а)

б)

2) Построить параллелограмм на векторах и и определить его диагонали и указать верный ответ:

а) б)

1.5.2. Скалярное произведение. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними: `а ?`b = abcos j (1.20).

Свойства скалярного произведения:

1) `а ?`а = а2 (`а2 = а2)

2) `а ?`b = 0 если `а = 0, `b = 0, `а =`b = 0 или `а ^`b (j = p / 2)

3) `а ?`b =`b ?`а (переместительный закон)

4) `а (`b + `с) =`а`b +`а`с (распределительный закон)

5) (l`а)`b = `а(l`b) = l(`а`b) (сочетательный закон по отношению к

скалярному множителю).

Из 1) следует, что `i2 = `j 2 = `к2 =1, а из 2) что `i `j = `i `к =`j `к = 0 (единичные вектора ортогональны (взаимно-перпендикулярны)).

Если вектора `а и`b заданы своими координатами (проекциями на оси Ох, Оу, Оz), то `а`b = axbx + ayby + azbz (1.21).

Действительно, `а`b = (`i ax + `j ay + `к az) (`i bx + `j by + `к bz) = `i2 ax bx + `i `j ay bx + `к`i az bx + `i `j ax by +`j2 ay by + `к `j az by + `i `к ax bz + `j`кaybz + `к2 azbz = [мы уже знаем, что квадраты ортов равны 1, а попарные произведения – 0] = axbх + ayby + azbz.

Контрольные вопросы.

1) Что называется скалярным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторов-сомножителей?

2) По какой формуле можно вычислить угол между двумя векторами?

1.5.3.

Векторным произведением вектора `а на вектор `b называется вектор `с = `а ´`b, определяемый следующим образом (рис 1.6):

1) |`с | = с = ab sin j (площади параллелограмма, построенного на `а и`b; j – угол между векторами)

2) `с перпендикулярен `а и`b

3) векторы`а,`b,`с после приведения к общему началу образуют (так же как `i,` j, `к) правую тройку векторов.

(Это значит, что если смотреть с конца вектора`с на векторы `а и `b, то вектор `а для совмещения с вектором `b поворачивается против часовой стрелки через наименьший угол.)

Свойства векторного произведения.

1) `а ´`b = -`b ´`а (векторное произведение не обладает переместительным свойством).

2) `а ´`b = 0 если `а = 0, `b = 0 или `а ||`b (j = 0)

3) (m`а ) ´`b = `а ´ (m`b) = m`а ´`b (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю)

4) `а ´ (`b +`с ) = `а ´`b +`а ´`с (распределительное свойство)

Легко убедиться (см. свойства 1 и 2), что `i `i = `j `j = `к `к = 0;

`i `j = –`j ` i = к; `j `к = –`к `j = `i; ` i `к = – `i `к = `j

Эти соотношения наглядно иллюстрируются следующим рисунком –

если два вектора перемножаются «против часовой стрелки»

(положительное направление обхода окружности) – третий

вектор получается «с плюсом»: `j ´`к =`i; если “по

часовой” – с минусом: `к ´` j = –`i.

Найдем векторное произведение, если вектора заданы своими координатами. `а ´`b = (`iax + `jay + `кaz) (`ibx + `jby + `кbz) = `i ´`iaxbx + +`j ´`iaybx +`к ´`jazbx +`i ´`jaxby +`j ´`jayby + `к ´`jazby +`j ´`к axbz + +`j ´`кaybz +`к ´`кazbz =`i (aybz – azby) – `j (axbz – azbx) +`к (axby – aybx).

Сравнив полученное выражение с (1.6), легко убедиться в том, что векторное произведение векторов `а и`b, заданных в разложении по декартову базису, удобнее всего вычислять по формуле

(1.22)

Контрольные вопросы.

1) Что называется векторным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторой-сомножителей?

2) Каковы условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов и как они выражаются через координаты векторов?

Тест 7.

1) Определить угол между векторами и и указать верный ответ:

а) , б) .

2) Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7,3,4),В(1,0,6),С(4,5,-2) и выбрать верный ответ:

а) 24, б) 24,5.

1.5.4. Смешанное (векторно – скалярное) произведение векторов.

Смешанным произведением векторов `а,`b,`с называют скалярное произведение вектора `а ´`b на вектор `с, т.е. `а`b`с = (`а ´`b)`с (1.23)

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

2) смешанное произведение не изменится, если знаки векторного и скалярного произведения поменять местами, т.е (`а ´`b)`с = `а (`b ´`с).

3) смешанное произведение не меняется, если перемножаемые векторы переставлять в круговом порядке: `а `b`с = `b`с`а = `с`а `b

4) при перестановке двух любых векторов смешанное произведение меняет знак: `b`а `с = –`а `b`с ; `с `b`а = –`а `b`с; `а `с`b = –`а `b`с

Если векторы заданы своими координатами, то: (1.24)

Условие компланарности векторов принимает вид:

(1.25)

(Компланарные вектора параллельны одной плоскости; векторное произведение двух векторов даст вектор, перпендикулярный этой плоскости и, соответственно, третьему вектору и их скалярное произведение будет равно нулю).

Объемы призмы V1 и пирамиды V2 построенных на `а,`b,`с определятся так: V1 = |`а `b`с | и V2 = 1 / 6 |`а `b`с | (1.26).

Контрольные вопросы.

1) Что называется смешанным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторов-сомножителей?

2) Каковы условия компланарности трёх векторов и как они выражаются через координаты векторов?

Тест 8.

1) Вычислить объём пирамиды с вершинами О(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и указать верный ответ:

а) 14 куб.ед., б) 12 куб.ед.

2) Лежат ли точки А(2,-1,-2), В(1,2,1), С(2,3,0) и Д(5,0,-6)? Выбрать верный ответ и обосновать его.

а) да, б) нет

1.5.5 Собственные значения и собственные векторы матрицы. Характеристическим уравнением матрицы называют уравнение = 0 (1.27)

Корни этого уравнения называют характеристическими числами (собственными значениями) матрицы.

Система уравнений, в которой l имеет одно из значений и определитель которой в силу этого равен нулю, определяет тройку чисел (х1, х2, х3), соответствующую данному характеристическому числу. Эта совокупность чисел с точностью до постоянного множителя определяет ненулевой вектор , называемый собственным вектором матрицы. Таким образом, квадратная матрица 3-его порядка имеет три собственных значения и три собственных вектора. (В общем случае среди собственных значений могут быть и кратные (одинаковые), в том числе и комплексные и мнимые. Собственные значения симметрической матрицы- только действительные числа.) Векторы эти могут быть записаны в матричной форме, в виде вектора-столбца, где t – произвольное постоянное

число. (1.28)

(Зачастую его удобнее использовать, чем уже привычный вектор-строку).

Пример: Найти собственные значения и собственные векторы матрицы: . Характеристическое уравнение матрицы примет вид: Раскроем определитель по элементам первой строки

Теперь можно найти собственные векторы матрицы

I.

Используя (1.10) найдём

II.

(1) - разделим 3-ий столбец на 2, (2) - заменим строки столбцами, (3) - вычтем из 2-ой строки 1-ую, (4 - вычтем из 3-ей строки 2-ую, используя (1.10) найдём: .

III. Аналогично вычисляется собственный вектор и для .

Контрольные вопросы.

1) Что называют характеристическим уравнением матрицы?

2) Что такое характеристические числа (собственные значения) матрицы?

3) Что такое собственный вектор матрицы?

1.5.6. Линейные (векторные) пространства.

Рассмотрим множество R элементов x, y, z,… для любых и которого определена сумма х+у и для любого действительного числа определено произведение

Если эти операции удовлетворяют условиям:

1. х+у = у+х ;

2. х+(у+z) = x+(y+z);

3. Существует такой элемент , (нуль- элемент) что х+0 = х для любого ;

4. Для каждого существует такой, что х+у = 0 (у = -х, т.е. х+(-х) =0);

5. ;

6.

7.

8.

то множество называют линейным (или векторным) пространством, а его элементы x, y, z,…- векторами.

Очевидно, что множество геометрических векторов, рассмотренное ранее, является линейным пространством, а предложенное определение расширяет понятие вектора.

Линейная независимость векторов определяется через соотношение (1.15), рассмотренное ранее. Максимально возможное число n линейно независимых векторов называют размерностью этого пространства (обозначение: ) - его называют n-мерным и обозначают Rn (рассматриваем конечномерные пространства). Любые n линейно независимых векторов в пространстве Rn образуют базис в этом пространстве. По векторам базиса можно единственным образом разложить любой вектор пространства.

Контрольные вопросы.

1) Дайте определение линейного пространства и приведите примеры линейных пространств. Что называется вектором7

2) Дайте определение линейной зависимости и независимости системы векторов.

3) Что называется размерностью линейного пространства? Приведите примеры.

4) Что называется базисом линейного пространства и координатами вектора в данном базисе? Приведите примеры.

1.5.7. Линейные преобразования.

Говорят, что в линейном пространстве R задано преобразование А, если каждому вектору по некоторому правилу ставится в соответствие вектор А. Преобразование называют линейным, если для любых х и у и любого действительного числа выполняются равенства А(х+у)=Ах+Ау и А(х)=Ах (его можно рассматривать как линейное преобразование координат точки или вектора- переход к другим координатам). Пусть в пространстве R3 с базисом задано линейное преобразование А. Каждый из векторов можно единственным образом разложить по векторам базиса

матрица линейного преобразования А в базисе . (аналогично - в пространстве при ).

Действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Например, если вектор переводится в вектор преобразованием А, а вектор переводится в вектор преобразованием В, это равносильно преобразованию С, переводящему вектор в вектор (его называют произведением составляющих преобразований).

Матрица этого линейного преобразования С = ВА.

Пример: Даны два линейных преобразования

и или и , где и

Искомое преобразование С определится произведением А и В

и .

Вид матрицы линейного преобразования определяется выбором базиса. Если за базис принять совокупность собственных векторов (см. 1.5.5), то матрица линейного преобразования принимает диагональный вид, причём на главной диагонали стоят собственные значения. Например, в R2 это матрица , линейное преобразование: .

Число собственных векторов может быть меньше размерности пространства. В этом случае простейшая матрица линейного преобразования формируется иначе. Рассмотрим в n-мерном базисе преобразование F вида:

Матрица этого преобразования в базисе обозначается и называется n-мерной жордановой клеткой соответствующей числу .

Говорят, что матрица А имеет каноническую жорданову форму, если по главной диагонали её расположены жордановы клетки, а все остальные элементы - нули.

При этом возможно, что или для некоторых номеров i и j.

Контрольные вопросы.

1) Что называют линейным преобразованием?

2) Что называют матрицей линейного преобразования?

3) Чем определяется вид матрицы линейного преобразования?

1.5.8. Квадратичные формы.

Квадратичной формой переменных х1, х2,…,хn называют многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий членов нулевой и первой степени.

При n=2

при n=3

А =, где aij = aji называют матрицей квадратичной формы . Матрица А симметрическая, собственные значения её- действительные числа.

Пусть нормированные собственные векторы в ортонормированном базисе е1, е2,е3. Векторы также образуют ортонормированный базис. - матрица перехода о т базиса е1,е2,е3 к базису . Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису примут вид:

Переходя к новым координатам получаем квадратичную форму не содержащую членов с произведениями переменных. Квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. (Предполагалось, что среди собственных чисел матрицы А нет кратных. В случае, если они есть, задача решается немного сложнее).

Пример: Привести к каноническому виду уравнение линии 17х2+12ху+8у2=80. В левой части - квадратичная форма с матрицей . Найдём собственные значения: Матрица преобразования принимает вид квадратичная форма преобразуется к канонической, а уравнение линии к виду или - (каноническое уравнение эллипса).

Контрольные вопросы.

1) Что называют квадратичной формой?

2) Что называют матрицей квадратичной формы?