<<
>>

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или (, ,).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если , , то

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

Sосн = (ед2)

Т.к. V = ; (ед)

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Смешанное произведение векторов.:

  1. § 8» Векторная алгебра
  2. Вопросы для самопроверки
  3. § 9. Различные виды уравнений плоскости
  4. § 10, Прямая линия в пространстве
  5. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  6. 5.2. Психолого-педагогические действия, направленные на повышение успеваемости студентов
  7. Вопросы для самопроверки.
  8. 1.5.Векторы. Основные операции над векторами.
  9. Задача 1.
  10. Содержание дисциплины
  11. Смешанное произведение векторов.
  12. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  13. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  14. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
  15. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  16. Тема 6. Векторная алгебра.
  17. Математические операции с векторами
  18. 7. Вопросы к зачету.
  19. Смешанное произведение векторов.