Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

? = ïïïïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) ? = ïï2;

2) ?992" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/155.gif"> = 0, если ^ или = 0 или = 0.

3) ? = ?;

4) ?(+) = ?+ ?;

5) (m)? = ?(m) = m(?); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

? = xa xb + ya yb + za zb;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Пример.

10?– 5?+ 6?– 3? = 10,

т.к. .

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, –2)

?= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

Пример. Найти скалярное произведение (3 – 2)?(5 – 6), если

15?– 18?– 10?+ 12? = 15

+ 12?36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, –3)

?= 12 + 20 – 15 =17 :

.

cosj =

Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, –3, –4)

.

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если

()() =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.