<<
>>

4.3. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

Пусть в пространстве (х, у, z) есть область D, в которой задана функция u = u(x, y, z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, т.е. каждая точка из этой области хaрактеризуется скаляром (числом) u, однозначно связанным с ее координатами.

(Если u = f(x, y, z) определяет температуру в точке М (х, у, z) – поле температур и т.п.).

Рис 4.2
Проведем из точки М области D (рис. 4.2) вектор `s, напрaвляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg (a, b, g – углы наклона вектора к осям Ох. Оу, Оz). Возьмем на s точкy М1 (х + Dх, у + Dу, z + Dz). Расстояние ММ1 определится выражением . Полагаем, что функция и ее производные по х, у, z непрерывны в области D. Полное приращение функции представим как Du = ux` Dx + uy` Dy + uz` Dz + e1Dx + e2Dy + e3Dz (1) где e1, e2, e3 стремятся к нулю при Ds ® 0. Разделим все члены (1) на Ds:

(2).

Очевидно, что и (2) можно записать в виде: (3). в точке (x,y,z)

Предел отношения Du / Ds при Ds ® 0 называется производной от функции u = f(x, y, z) в точке (х, у, z) по направлению вектора `s и обозначается ; (4). Переходя к пределу в (3) получим:

(4.9)

Зная частные производные легко найти производную по любому направлению `s.

(Сами частные производные являются производными по направлению векторов `i, `j, `k).

Градиентом функции u = f(x, y, z) в точке M(x, y, z) называется вектор, проекции которого на оси координат являются значениями частных производных функции в этой точке: (4.10)

Т.о. каждой точке области D задания функции u соответствует градиент grad u, т.е. в области D определено векторное поле градиентов. Можно показать, что если в области D задано скалярное поле u = u(x, y, z) и в нем определено поле градиентов (4.10), то (производная по направлению`s) равняется проекции вектора grad u на вектор `s , т.е. (4.11),

откуда, обозначив через j угол между `s и grad u, получим

4.11`) или (4.11``).

Отметим важное свойство градиента – производная в данной точке по направлению вектора `s имеет наибольшее значение и равнa |grad u|, если направление`s совпадает с направлением градиента.

Контрольные вопросы.

1) Какое поле называется скалярным?

2) Как находится производная от функции u=f(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора ?

3) Что называют градиентом функции (поля) u=f(x,y,z) в точке (x,y,z)?

Тест 20.

1) Полагая u=1, 2, 3, 4 определить какому уравнению удовлетворяет чертёж.

а) u=x+y;

б) u=x2+y2;

в) u=x+1+y.

2) Что будет являться производной функции в точке А (3;4) по направлению биссектрисы первого координатного угла.

а) 1; б) ; в) 0.

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 2. - МГУТУ, 2004. 2004

Еще по теме 4.3. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.:

  1. 2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики
  2. 6.3 Коммутационные соотношения для многомасштабных полей
  3. Содержание часть 1
  4. 4.3. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
  5. Вопросы для самопроверки.
  6. Содержание
  7. Содержание дисциплины
  8. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
  9. Векторная функция скалярного аргумента.
  10. Производная по направлению.
  11. Связь градиента с производной по направлению.
  12. Элементы теории поля.
  13. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  14. Основные понятия и единицы измерений