Производная по направлению. Характеристическая альтернатива

В данном разделе будем рассматривать квазилинейные уравнения 1-го порядка вида

(1)

где, коэффициенты a_i и a зависят от независимых переменных и искомой функции v.

, .

Пусть в n-мерном пространстве x₁,x₂,…,x_n задана функция v(x₁,x₂,…,x_n) непрерывная и дифференцируемая по всем своим переменным.

Пусть в точке P(x₁₀,x₂₀,…,x_n0) этого пространства задан некоторый вектор . Рассмотрим в этой точке бесконечно малый вектор приращений координат (dx₁,dx₂,…,dx_n) коллинеарный вектору . Из условий коллинеарности можем записать

,

откуда получаем дифференциальные уравнения

; ; …; (2)

Интегрируя эти уравнения от точки Р

получим уравнение прямой в n-мерном пространстве, проходящей через точку Р и коллинеарной вектору . На этой прямой функция v примет значение .

, из (2) получим

(3) - производная функции v по направлению вектора .

С помощью этой производной перепишем (1): (4).

Уравнения (2) и (4) образуют дифференциальные уравнения характеристик уравнения (1).

Рассмотрим в n-мерном пространстве некоторое (n-1)-мерное многообразие В, которое будем записывать в неявном виде:

(5) - уравнение гиперповерхности.

x₁,x₂ ? φ(x₁,x₂)=0 ? x₁=f(x₂) – кривая.

x₁,x₂,x₃ ? φ(x₁,x₂,x₃)=0 ? x₁=f(x₂,x₃) – поверхность.

Рассмотрим на гиперповерхности (5) точку Р и бесконечно малый вектор (dx₁,dx₂,…,dx_n) касательный к гиперповерхности в этой точке. Дифференцируя φ вдоль этого вектора, получим: , или ,

откуда следует ортогональность этих векторов.

Так как вектор (dx₁,dx₂,…,dx_n) произвольный касательный вектор в точке Р, то отсюда следует, что вектор является вектором нормали к гиперповерхности.

Пусть компоненты вектора , входящие в производную по направлению вектора , можно записать в виде: , тогда производная называется производной по направлению нормали к гиперповерхности в точке Р и ее можно записать в виде: .

Пусть теперь в точке Р (в этом случае вектор лежит в касательной плоскости к гиперповерхности в точке Р), тогда производная по направлению вектора называется тангенциальной производной или внутренней производной на гиперповерхности.

Если функция v на гиперповерхности задана, то внутренние производные этой функции на гиперповерхности нам известны, покажем это.

Введем в окрестности гиперповерхности В новую систему координат ξ₁,ξ₂,…,ξ_n, при чем в качестве координат ξ₁,ξ₂,…,ξ_n выберем внутренние криволинейные координаты на гиперповерхности. А в качестве ξ₁ возьмем .

Производная функции v будет , а производная по направлению

Так как по предположению вектор касается гиперповерхности в точке Р, то

Когда функция v на гиперповерхности задана, эта производная в точках поверхности может быть вычислена.

Может случиться, что вектор в точке Р удовлетворяет соотношению , откуда следует, что существует проекция вектора на нормаль к поверхности отличная от нуля.

Обратимся вновь к уравнению (1), которое может быть записано в виде: (4), где - производная по направлению вектора , и пусть на гиперповерхности В задана функция v.

Рассмотрим вопрос о возможности нахождения функции v в окрестности гиперповерхности с помощью уравнения (1). Возможны 2 случая:

1. В точке Р имеет место, и, следовательно, производная задаваемая дифференциальным уравнением является выводящей. В этом случае функцию v в окрестности гиперповерхности можем найти, например, расписывая в разностном виде уравнение (4):

(6)

где x₁,x₂,…,x_n – значения координат на гиперповерхности. Зная значение функции v(x₁,x₂,…,x_n) в точке Р с помощью соотношения (6) можно найти ее значение в окрестности гиперповерхности.

2. производная, входящая в дифференциальное уравнение является внутренней, она нам известна, и тогда д. у. (4) задает ограничение на задание функции v на гиперповерхности.

Поставленная задача (задача Коши) с данными на гиперповерхности является либо разрешимой, если везде на гиперповерхности выполняется неравенство , либо д. у. задает на гиперповерхности тангенциальную (внутреннюю) производную, и, таким образом, задает ограничение на задание функции v на этой поверхности. В этом случае сама гиперповерхность называется характеристической гиперповерхностью.