<<
>>

10. Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.

Пусть кривая есть график функции y = f(x) в прямоугольной системе координат (см. рис.).

При некотором значении x функция имеет значение y = f(x).

Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M0(x, y). Если аргументу x дать приращение Dx, то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+Dy = f(x + Dx). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M1(x + Dx, y + Dy). Если провести секущую M0M1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M0, и угол j изменяется с изменением Dx. При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

.

Следовательно, f´(x) = tga

т.е. значение производной f´(x) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке M0(x,y) с положительным направлением оси Ox.

Рассмотрим случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х(t) времени t. За промежуток времени от t0) до t0) + Δt перемещение точки равно х (t0) + Δt) — х (t0)) = Δх, а ее средняя скорость такова:

При Δt

Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

<< | >>
Источник: Неизвестный. Высшая математика. Ответы на экзамен. 2015

Еще по теме 10. Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.:

  1. ГЛАВА 6. ПОПЫТКА ПОСТРОЕНИЯ БИФУРКАЦИОННО- АТТРАКТОРНОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ (НА ПРИМЕРЕ НКМ И ОТО)
  2. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  3. ВВЕДЕНИЕ
  4. Содержание дисциплины
  5. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  6. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  7. Основные понятия и категории курса «Экономическая теория»
  8. 10. Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.
  9. I ГЕНЕЗИС НАУКИ
  10. XV ОТВЕТ КРИТИКАМ
  11. в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие.