§ 19, Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл
Ау _ f[x ^ Да:) - f(x) Да; Да:
Определение, Производной функции у = f(x) в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к нулю
и обозначается одним из символов у\ f'(x),
(IX
*> = lim lim Ла^їШ, (1)
dx АнО Да: йї-чо Дг
При нахождении предела величина х рассматривается как постоянная, причем, если предел (I) конечный, то функция у —¦ f{x) дифференцируема в точке х.
Процесс нахождения производной называется диффе ре н ци ро ва кием.Пример, Найти производную функции у — хЛ в произвольной точке х и в точке х — 2,
Решение. Нейдём приращение функции:
Д у - f(x 4- Ах) - f(x) = (ж + Да:)3 - Xі х3 + 3 Ах - х2 + За^Лз:)2
+ (Да;)3 -13 = Ах\3х2 + Ъх ¦ Дя Н- (Да)3],
Далее составим отношение Ау/Ах — Зх2 + Зя ¦ Да: + (Лл^)2 и, переходя к пределу при Ах —* 0Т найдём производную от данной функции:
у' = Иш ^г- — Hm (Зх2 -Н За; - Дх + {Ах)2) = Зх*.
° ДЗГ-.0 Ах Дх->0
Итак, производная от функции у = х3 в произвольной точке х равна if = 3х , При х = 2 имеем у'(2) = 3 - 2Э = 12.
І86 Дифференциальное исчисление функций одной пе^мёмШ [ Гл. _[У
Если фуыкшш дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, тот она дифференцируема в этом интернале.
Связь между понятием дифференцируемое™ и непрерывности функции устанавливает следующая теорема.
Теорема О. Если функция у = f(x) дифференцируема в данной точке, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Та к как функция дифференцируема э точке я?» то существует предел
lim
Тогда по теореме I для ^ можно записать: ^ = f'{x) + пг(Лд;),
где — бесконечна малаїї величина при Ах —* 0.
Отсюда ~= [f'(x) о(Лт)] Ах и при Дх -* 0 получим, что Ay —> 0, т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функиии. а эта и есть определение непрерывности функции ? точке X. Теорема доказана.
Отметим, что из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость а этой точке. г _
Ф'О + Лх - vO
Примером такой функции может служить функция у — f{x) = - Она непрерывна при всех значениях аргумента, но не дифференцируема в точке х — О, так как
= lim
Игл
= -ьоо.
у'(0) = lim ^ -
11 ' л*— о &.Х
Дх—-О
Для выяснения геометрического смысла производной рассмотрим график функции у = Л^)- Возьмём на графике функции точку bd с координатами т, у и придадим приращение аргументу, которое вызовет приращение функции. Получим точку М\ с координатами х 4- .А.тт, у +¦ Ду {см, рис, &1),
Проведём секущую AfMj, касательную МТ и обозначим через /3 угол, образованный секущей с положитесь НЪРМ направлением оси О an, а через о; — угол, образованный касательной. Составим отношение
Иэ рисунка видно, что ^ — tgf3. При стремлении Ах к нулю
Ах
Дж точка
Mit оставаясь на кривой, стремится к точке Л/. Предельным положением секущей ММі будет касательная МТ к крнной в точке М, а угол наклона секущей будет стремится к л {Дх = AM, Ду = А№\ ):
tlim = lim p.=f>(x). a*—о Ді-о Лі 4 '
Следовательно, значение производной f'(x) при данном значении аргумента х равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ох касательной к графику функции в соответству-ющей точке М(їлт/}.
Таким образом, существование произвол ной /'(я) связано с существованием касательной к кривой, соответствующей уравнению у — — х}. Однако непрерывная кривая в отдельных точках может не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси Оу
Пример. Пользуясь только определением пронзподной, найти f'[x), если;
] ) f(x) X COS X
По определению производной имеем
г'/.И _ Iim Аз0 - /(д) _ ][т (х±_Ьх) <*>в (х + Дар-х совх _
Да; Дг^о ДЕ
= lim — [arfcos (х + Да;) — cos я;) + Дх cos (х + Дх) І = Даг^О ДХ
— ^ sin ^ sin /яг + + Дхсоз(я + =>
Дх1
lim
~ —х sin л: -I- cos X,
так как
Дх
| — я; sin ^х + + + Л,т)
Итак, f'(x) — fx cos а:)' = cosx — дгйіпх. 2) /(*) = eV* x ф 0,
fix) - lim = lim і [ eSrfe ^ ] ^ 4 Дат—0 Дх Дзе—»0 Да? ^ j
і і / _ і _ \ ^ і / _ Дх 4
= e* Lim -f- f * - 1 1 = e* lim є"«її+їїї ~ l =
йі-^о Де ^ j Дх ^ j
* lim —— ( 1 — 1 ] = e* lim д 1 д = — і
Дяг^о Ді ^ х(х + Дх) у Ді—Оз -ЬхДх *
следовательно, /'(л:) — — —^еІ
Еще по теме § 19, Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл:
- 10. Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.
- Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- Физический и геометрический смысл производной.
- 1.2.10. Определение. Если существует производная функциив точке , то она называется первой вариацией функционала в точке при данной вариации аргумента, и обозначается :
- Односторонние производные функции в точке.
- Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Условие дифференцируемости функции в точке.
- 5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- Связь между непрерывностью функции в точке и ее дифференцируемостью в этой точке.
- §5. Предел функции в точке. Свойства функций,имеющих предел в точке. Предел на бесконечности.
- Геометрический смысл дифференциала.
- Методы построения уравнений движения геометрически нелинейных стержневых механических систем
- 19. Производная обратной функции. Производные высших порядков.
- Определение области. Линии уровня функции. Направление наибольшего возрастания (убывания) функции в точке. Градиент.
- 4.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
- 2. Практическое занятие №2 "Нахождение производных функций. Приложения производных "
- Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
- Непрерывность функции в точке.
- Геометрический смысл матриц поворота