§ 19, Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл

Ау _ f[x ^ Да:) - f(x) Да; Да:

Определение, Производной функции у = f(x) в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к нулю

и обозначается одним из символов у\ f'(x),

(IX

*> = lim lim Ла^їШ, (1)

dx АнО Да: йї-чо Дг

При нахождении предела величина х рассматривается как постоянная, причем, если предел (I) конечный, то функция у —¦ f{x) дифференцируема в точке х.

Пример, Найти производную функции у — хЛ в произвольной точке х и в точке х — 2,

Решение. Нейдём приращение функции:

Д у - f(x 4- Ах) - f(x) = (ж + Да:)3 - Xі х3 + 3 Ах - х2 + За^Лз:)2

+ (Да;)3 -13 = Ах\3х2 + Ъх ¦ Дя Н- (Да)3],

Далее составим отношение Ау/Ах — Зх2 + Зя ¦ Да: + (Лл^)2 и, переходя к пределу при Ах —* 0Т найдём производную от данной функции:

у' = Иш ^г- — Hm (Зх2 -Н За; - Дх + {Ах)2) = Зх*.

° ДЗГ-.0 Ах Дх->0

Итак, производная от функции у = х3 в произвольной точке х равна if = 3х , При х = 2 имеем у'(2) = 3 - 2Э = 12.

І86 Дифференциальное исчисление функций одной пе^мёмШ [ Гл. _[У

Если фуыкшш дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, тот она дифференцируема в этом интернале.

Связь между понятием дифференцируемое™ и непрерывности функции устанавливает следующая теорема.

Теорема О. Если функция у = f(x) дифференцируема в данной точке, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Та к как функция дифференцируема э точке я?» то существует предел

lim

Тогда по теореме I для ^ можно записать: ^ = f'{x) + пг(Лд;),

где — бесконечна малаїї величина при Ах —* 0.

= [f'(x) о(Лт)] Ах и при Дх -* 0 получим, что Ay —> 0, т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функиии. а эта и есть определение непрерывности функции ? точке X. Теорема доказана.

Отметим, что из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость а этой точке. г _

Ф'О + Лх - vO

Примером такой функции может служить функция у — f{x) = - Она непрерывна при всех значениях аргумента, но не дифференцируема в точке х — О, так как

= lim

Игл

= -ьоо.

у'(0) = lim ^ -

11 ' л*— о &.Х

Дх—-О

Для выяснения геометрического смысла производной рассмотрим график функции у = Л^)- Возьмём на графике функции точку bd с координатами т, у и придадим приращение аргументу, которое вызовет приращение функции. Получим точку М\ с координатами х 4- .А.тт, у +¦ Ду {см, рис, &1),

Проведём секущую AfMj, касательную МТ и обозначим через /3 угол, образованный секущей с положитесь НЪРМ направлением оси О an, а через о; — угол, образованный касательной. Составим отношение

Иэ рисунка видно, что ^ — tgf3. При стремлении Ах к нулю

Ах

Дж точка

Mit оставаясь на кривой, стремится к точке Л/. Предельным положением секущей ММі будет касательная МТ к крнной в точке М, а угол наклона секущей будет стремится к л {Дх = AM, Ду = А№\ ):

tlim = lim p.=f>(x). a*—о Ді-о Лі 4 '

Следовательно, значение производной f'(x) при данном значении аргумента х равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ох касательной к графику функции в соответству-ющей точке М(їлт/}.

Таким образом, существование произвол ной /'(я) связано с существованием касательной к кривой, соответствующей уравнению у — — х}. Однако непрерывная кривая в отдельных точках может не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси Оу

Пример. Пользуясь только определением пронзподной, найти f'[x), если;

] ) f(x) X COS X

По определению производной имеем

г'/.И _ Iim Аз0 - /(д) _ ][т (х±_Ьх) <*>в (х + Дар-х совх _

Да; Дг^о ДЕ

= lim — [arfcos (х + Да;) — cos я;) + Дх cos (х + Дх) І = Даг^О ДХ

— ^ sin ^ sin /яг + + Дхсоз(я + =>

Дх1

lim

~ —х sin л: -I- cos X,

так как

Дх

| — я; sin ^х + + + Л,т)

Итак, f'(x) — fx cos а:)' = cosx — дгйіпх. 2) /(*) = eV* x ф 0,

fix) - lim = lim і [ eSrfe ^ ] ^ 4 Дат—0 Дх Дзе—»0 Да? ^ j

і і / _ і _ \ ^ і / _ Дх 4

= e* Lim -f- f * - 1 1 = e* lim є"«її+їїї ~ l =

йі-^о Де ^ j Дх ^ j

* lim —— ( 1 — 1 ] = e* lim д 1 д = — і

Дяг^о Ді ^ х(х + Дх) у Ді—Оз -ЬхДх *

следовательно, /'(л:) — — —^еІ